已知數列{an}中a1=1 an+1=3an 數列{bn}的前幾項和Sn=n^2+2n,設cn=an*bn,求Tn=C1

題目：

已知數列{an}中a1=1 an+1=3an 數列{bn}的前幾項和Sn=n^2+2n,設cn=an*bn,求Tn=C1+C2=C3=-----Cn

解答：

A(n+1)=3An
A(n+1)/An=3 {An}是以A1=1爲首,3爲公比的等比數列.
An=A1q^(n-1)=1*3^(n-1)=3^(n-1)
Sn=n^2+2n+1 S1=a1=1+2+1=4
S(n-1)=(n-1)^2+2(n-1)+1
相減:Sn-Sn-1=(n-n+1)(2n-1)+2(n-n+1)
Bn = (2n-1)+2=2n+1 n>=2
所以:Bn=2n+1 n>=2 n=1時,B1=4
Cn=AnBn C1=A1B1=1*4=4
n>=2時,
Cn=(2n+1)3^(n-1)
Tn=4*1+5*3+7*3^2+9*3^3+11*3^4+.(2n+1)*3^(n-1).1
等式兩邊同*3
3Tn=12+ 5*3^2+7*3^3+9*3^4+.+(2n-1)*3^(n-1)+(2n+1)3^n.2
2式-1式得:
2Tn=12-4-15+(2n+1)3^n-[(7-5)3^2+(9-7)3^3+(11-9)*3^4+...+(2n+1-2n+1)3^(n-1)
2Tn=-7+(2n+1)3^n-2(3^2+3^3+3^4+..+3^(n-1))
2Tn=-7+(2n+1)3^n-2[3^2(1-3^(n-1-2+1))/(1-3)]
2Tn=-7+(2n+1)3^n+2[9(1-3^(n-2))/2
2Tn=-7+(2n+1)3^n+9-3^n
2Tn=-7+(2n+1-1)3^n+9
2Tn=2+(2n+1-1)3^n
Tn=[2n*3^n+2]/2
Tn=n*3^n+1
n=1時,Tn=4*1=4
再問： 答案不對
再答： a(n+1)=3an a(n+1)/an=3 {an}是以a1=1爲首,3爲公比的等比數列. an=a1q^(n-1)=1*3^(n-1)=3^(n-1) Sn=n^2+2n S1=a1=1+2=3 S(n-1)=(n-1)^2+2(n-1) 相減:Sn-Sn-1=(n-n+1)(2n-1)+2(n-n+1) bn = (2n-1)+2=2n+1 n>=2 所以: bn=2n+1 n>=2 n=1時,b1=3 Cn=anbn C1=a1b1=1*3=3 n>=2時, Cn=(2n+1)3^(n-1) Tn=3*1+5*3+7*3^2+9*3^3+11*3^4+....(2n+1)*3^(n-1)......................................1 等式兩邊同*3 3Tn=9+ 5*3^2+7*3^3+9*3^4+....+(2n-1)*3^(n-1)+(2n+1)3^n.......................2 2式-1式得: 2Tn=9-3-15+(2n+1)3^n-[(7-5)3^2+(9-7)3^3+(11-9)*3^4+...+(2n+1-2n+1)3^(n-1) 2Tn=-9+(2n+1)3^n-2(3^2+3^3+3^4+..+3^(n-1)) 2Tn=-9+(2n+1)3^n-2[3^2(1-3^(n-1-2+1))/(1-3)] 2Tn=-9+(2n+1)3^n+2[9(1-3^(n-2))/2 2Tn=-9+(2n+1)3^n+9-3^n 2Tn=-9+(2n+1-1)3^n+9 2Tn=(2n+1-1)3^n Tn=[2n*3^n]/2 Tn=n*3^n n=1時,Tn=3*1=3
再問： 2Tn=9-3-15+(2n+1)3^n-[(7-5)3^2+(9-7)3^3+(11-9)*3^4+...+(2n+1-2n+1)3^(n-1)這一步怎麼得到的？
再答： 不就是2式-1式嗎，提取3的指數冪相同的項，將其係數做相加減，整理一下就ok了