設等比數列{an}滿足公比q∈N*，an∈N*，且{an}中的任意兩項之積也是該數列中的一項，若a1=281，則q的所有

題目：

設等比數列{a_n}滿足公比q∈N^*，a_n∈N^*，且{a_n}中的任意兩項之積也是該數列中的一項，若a₁=2⁸¹，則q的所有可能取值的集合爲______．

解答：

由題意，a_n=2⁸¹q^n-1，設該數列中的任意兩項爲a_m，a_t，它們的積爲a_p，
則爲a_m•a_t=a_p，即2⁸¹q^m-1•2⁸¹q^t-1=2⁸¹•q^p-1，（q，m，t，p∈N^*），
∴q=2
81
p−m−t+1，
故p-m-t+1必是81的正約數，
即p-m-t+1的可能取值爲1，3，9，27，81，
即
81
p−m−t+1的可能取值爲1，3，9，27，81，
所以q的所有可能取值的集合爲{2⁸¹，2²⁷，2⁹，2³，2}

試題解析：

依題意可求得該等比數列的通項公式a_n，設該數列中的任意兩項爲a_m，a_t，它們的積爲a_p，求得q=2

名師點評：

本題考點： 等比數列的通項公式．
考點點評： 本題考查等比數列的通項公式，依題意求得q=281p−m−t+1是難點，分析得到p-m-t+1必是81的正約數是關鍵，考查分析與運算能力，屬於難題．