高數,將f（x）=∫（0到x）ln（1+t）/tdt展開成x的冪級數,並求此級數的收斂區間

題目：

高數,
將f（x）=∫（0到x）ln（1+t）/tdt展開成x的冪級數,並求此級數的收斂區間

解答：

∵ln(1+t) = ∑{1 ≤ n} (-1)^(n-1)·t^n/n,
∴ln(1+t)/t = ∑{1 ≤ n} (-1)^(n-1)·t^(n-1)/n.
該冪級數收斂半徑爲1,因此在(-1,1)內閉一致收斂,
對x ∈ (-1,1)可逐項積分得f(x) = ∫{0,x} ln(1+t)/t dt
= ∫{0,x} (∑{1 ≤ n} (-1)^(n-1)·t^(n-1)/n) dt
= ∑{1 ≤ n} (-1)^(n-1)/n·∫{0,x} t^(n-1) dt
= ∑{1 ≤ n} (-1)^(n-1)·x^n/n².
由lim{n → ∞} |x^(n+1)/(n+1)²|/|x^n/n²| = |x|,根據D'Alembert比值判別法,
|x| > 1時級數發散,|x| < 1時級數收斂 (即收斂半徑爲1).
當|x| = 1時,由∑{1 ≤ n} 1/n²收斂可知級數絕對收斂,從而也是收斂的.
因此級數的收斂域爲[-1,1].
(仔細討論的話,還可以說明級數在|x| = 1處也收斂到f(x)).