高數的,f(x)=(1-x)ln(1+x)展開成x的冪級數

題目：

高數的,f(x)=(1-x)ln(1+x)展開成x的冪級數

解答：

令 g(x) = ln(1+x), g(0) = 0；
[ln(1+x)] ' = 1 / (1+x), g'(0) = 1；
[ln(1+x)] '' = -1 / (1+x)^2, g''(0) = -1；
[ln(1+x)] ''' = 2 / (1+x)^3, g''(0) = 2!； 一般有：
[ln(1+x)] ^(k) = (-1)^(k-1) * (k-1)! / (1+x)^k, g^(k)(0) = (-1)^(k-1) * (k-1)! ；
根據泰勒展開式有：
∴ ln(1+x) = x - x^2 / 2 + x^3 / 3 + ... ... + (-1)^(n-1) * x^n / n + .
(1-x) * ln(1+x) = ln(1+x) - x * ln(1+x) = [x - x^2 / 2 + x^3 / 3 + ... ... + (-1)^(n-1) * x^n / n + .] -
[x^2 - x^3 / 2 + x^4 / 3 + ... ... + (-1)^(n-1) * x^(n+1) / n + .]
= x + (-1) * 3/2 * x^2 + 5/6 * x^3 + ... ... + (-1)^(n-1) * (2n-1) /[n * (n-1)] * x^n +.