高數證明f(t)=∫(0→π)ln(t²+2tcosx+1)dx爲偶函數

題目：

高數證明f(t)=∫(0→π)ln(t²+2tcosx+1)dx爲偶函數
f(t)=∫(0→π)ln(t²+2tcosx+1)dx爲偶函數,

解答：

由題目f(t)=ln(t^2+2tcosx+1)dx,積分上限是π,下限是0.(1)
得到
f(-t)=ln(t^2-2tcosx+1)dx,積分上限是π,下限是0.(2)
設y=π+x,則
f(-t)=ln(t^2+2tcosx+1)dx,積分上限是0,下限是-π.(3)
考慮到積分是對x的,而且cosx的周期是關於x的偶函數,所以
f(t)=ln(t^2+2tcos(-x)+1)dx,積分上限是0,下限是-π.(4)(注意該式中是cos(-x))
(3)與(4)是相等的,所以f(t)=f(-t)
所以f(t)是關於t的偶函數
再問： 哪裡來的y
再答： 第三步改成f(-t)=ln(t^2+2tcosy+1)dy，積分上限是0,下限是-π
再問： 我明白啦，其實不用令，可以直接將cosx前的負號變成 cos-x,根據cosx是偶函數，直接就可以得出原式子，可以這樣理解嗎？
再答： 恩，可以