分段函數f(x) ln(1+ax^3)/(x-arcsinx) ,x0問a爲何值時,f(x)在x=0 處連續.

題目：

分段函數f(x)
ln(1+ax^3)/(x-arcsinx) ,x0
問a爲何值時,f(x)在x=0 處連續.

解答：

a=-1;
f(x)要在x=0處連續 只需有：[x->0]limf(x)=f(0)即可.
對於本題,f(x)在0點連續那麼就可得出：
[x->0+]lim(e^(ax)+x^2-ax-1)/x*sin(x/4)=6;
[x->0-]lim ln(1+ax^3)/(x-arcsinx)=6;
對於第一個等式,sin(x/4)可用x/4等價無窮小代換,分母x*sin(x/4)即可代換爲 x^2/4 再看分子,e^(ax)泰勒展開得：e^(ax)=1+ax+(a^2/2)x^2+o(x^2)
那麼分子即爲：x^2+(a^2/2)x^2+o(x^2).
分子分母同時除去x^2即可得[x->0+]lim(e^(ax)+x^2-ax-1)/x*sin(x/4）=2a^2+4
2a^2+4=6即可解得a=1或a=-1.
再看第二個等式,ln(1+ax^3)可代換爲ax^3,
那麼lim ln(1+ax^3)/(x-arcsinx)=lim ax^3/(x-arcsinx),再用落必達法則求極限：lim ax^3/(x-arcsinx)=lim3ax^2/[1- 1/sqrt(1-x^2)].整理過後得:
lim [3ax^2 ×sqrt(1-x^2)]/[sqrt(1-x^2) -1].
分子分母同時乘[sqrt(1-x^2) +1]後再同時除去 x^2 即可得：
lim ln(1+ax^3)/(x-arcsinx)=-6a=6,即可得出a=-1.這樣一來第一個等式解得的a=1就沒用了.也就是說其實可以只做第二個等式就行了.