能同時表示成連續9個、10個和11個非零自然數的和的最小自然數是______．

題目：

能同時表示成連續9個、10個和11個非零自然數的和的最小自然數是______．

解答：

設所求的正整數爲A，則由題意得：
A=（p+1）+（p+2）+（p+3）+…+（p+9）=9p+45，①
A=（m+1）+（m+2）+（m+3）+…+（m+10）=10m+55，②
A=（n+1）+（n+2）+（n+3）+…+（n+9）=11n+66，③
其中p，m，n均爲整數．由①、②可得：9p+45=10m+55，所以
9p=10（m+1）．④
由②、③可得：10m+55=11n+66，所以
10m=11（n+1）．⑤
因爲10與11互質，所以由⑤可知，m是11 的倍數，由④可知，m+1是9的倍數，所以m 是11 的倍數，且被9 除的餘數爲8，於是m的最小值爲44，A的最小值爲10×44+55=495．
答：最小自然數是495．
故答案爲：495．

試題解析：

設所求的正整數爲A，則由題意得：
A=（p+1）+（p+2）+（p+3）+…+（p+9）=9p+45，①
A=（m+1）+（m+2）+（m+3）+…+（m+10）=10m+55，②
A=（n+1）+（n+2）+（n+3）+…+（n+9）=11n+66，③
據這三個等式，進行討論，解決問題．

名師點評：

本題考點： 最大與最小．
考點點評： 此題也可這樣理解：求一個自然數，它可以表示成9個、10個、11個連續自然數的和，所以這個自然數是5、9、11的倍數，最小公倍數是495．顯然，這個數是可以的：51+52+…+59=495，45+46+…+54=495，40+41+…+50=495．