討論函數y=x+a/x(a不等於0)的定義域、值域、單調性、奇偶性,並做出簡圖

題目：

討論函數y=x+a/x(a不等於0)的定義域、值域、單調性、奇偶性,並做出簡圖
要討論a是大於0還是小於0
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解答：

∵函數y=f(x)=x+a/x(a不等於0)
∴它的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞)
∵f(-x)=-x-a/x=-(x+a/x)=f(x)
∴函數y=f(x)=x+a/x(a不等於0)是奇函數
∵a≠0
∴要分兩種情況來求
(1)當axy=x²+a
==>x²-xy+a=0
又a0
故函數y的值域是(-∞,+∞)
∵y′=(x²-a)/x²>0
∴原函數在區間(-∞,0)∪(0,+∞)上單調遞增
(2)當a>0時,同理可得x²-xy+a=0
∵此方程有實數解,且a>0
∴△=y²-4a≥0 ==>(y+2√a)(y-2√a)≥0
==>y≤-2√a,或y≥2√a
故原函數的值域是(-∞,-2√a][2√a,+∞)
∵令y′=(x²-a)/x²=0
∴x=√a,或x=-√a
∵當x∈(-∞,-√a)∪(√a,+∞)時,y′=(x²-a)/x²>0
當x∈(-√a,0)∪(0,√a)時,y′=(x²-a)/x²