定長爲3的線段AB兩個端點在拋物線y^2=x的移動,記線段AB的中點爲M,求點M到y軸的最短距離,並求M的坐標.

題目：

定長爲3的線段AB兩個端點在拋物線y^2=x的移動,記線段AB的中點爲M,求點M到y軸的最短距離,並求M的坐標.

解答：

設A,B坐標分別是(x1,y1),(x2,y2),則所求M點到y軸距離爲f(x1,x2)=(x1+x2)/2
按照題目條件可得一下等式：
y1^2=x1
y2^2=x2
(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=3^2
整理得：x1^2-2x1x2+x2^2+x1+x2-2√(x1x2)=9
令φ(x1,x2)=x1^2-2x1x2+x2^2+x1+x2-2√(x1x2)-9
原題實際就是求f(x1,x2)=(x1+x2)/2在條件φ(x1,x2)=0時的條件極值.
構成函數G(x1,x2,λ)=(x1+x2)/2+λφ(x1,x2)
利用拉格朗日乘數法,得到一下方程組：
G對x1求導=1/2+2λx1-2λx2+λ-λx2/[√(x1x2)]=0
G對x2求導=1/2+2λx2-2λx1+λ-λx1/[√(x1x2)]=0
φ(x1,x2)=0
將前兩個方程相減,得：λ(x1-x2)/[√(x1x2)]=0
所以f(x1,x2)=(x1+x2)/2在滿足條件φ(x1,x2)=0時的極值點爲：
λ=0或者x1=x2
顯然λ＝0不符合要求,所以在x1=x2時,f(x1,x2)=(x1+x2)/2取得極值,即當線段AB平行於y軸時,點M到y軸的距離最短.
所以不妨令y1=-y2=3/2,易求得：(x1+x2)/2＝9/4
即M到y軸最短距離爲9/4,此時M點坐標爲(9/4,0)