數學中向量的許多公式,運算規則

題目：

數學中向量的許多公式,運算規則

解答：

a=（x,y）,b=(x',y').
1、向量的加法
向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則.
AB+BC=AC.
a+b=(x+x',y+y').
a+0=0+a=a.
向量加法的運算律：
交換律：a+b=b+a；
結合律：(a+b)+c=a+(b+c).
2、向量的減法
如果a、b是互爲相反的向量,那麼a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量爲0
AB-AC=CB.即「共同起點,指向被減」
a=(x,y) b=(x',y') 則 a-b=(x-x',y-y').
4、數乘向量
實數λ和向量a的乘積是一個向量,記作λa,且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣.
當λ＞0時,λa與a同方向；
當λ＜0時,λa與a反方向；
當λ=0時,λa=0,方向任意.
當a=0時,對於任意實數λ,都有λa=0.
註：按定義知,如果λa=0,那麼λ=0或a=0.
實數λ叫做向量a的係數,乘數向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮.
當∣λ∣＞1時,表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸長爲原來的∣λ∣倍；
當∣λ∣＜1時,表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上縮短爲原來的∣λ∣倍.
數與向量的乘法滿足下面的運算律
結合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb).
向量對於數的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.
數對於向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.
數乘向量的消去律：① 如果實數λ≠0且λa=λb,那麼a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那麼λ=μ.
3、向量的的數量積
定義：已知兩個非零向量a,b.作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角,記作〈a,b〉並規定0≤〈a,b〉≤π
定義：兩個向量的數量積（內積、點積）是一個數量,記作a•b.若a、b不共線,則a•b=|a|•|b|•cos〈a,b〉；若a、b共線,則a•b=+-∣a∣∣b∣.
向量的數量積的坐標表示：a•b=x•x'+y•y'.
向量的數量積的運算律
a•b=b•a（交換律）；
(λa)•b=λ(a•b)(關於數乘法的結合律)；
（a+b)•c=a•c+b•c（分配律）；
向量的數量積的性質
a•a=|a|的平方.
a⊥b 〈=〉a•b=0.
|a•b|≤|a|•|b|.
向量的數量積與實數運算的主要不同點
1、向量的數量積不滿足結合律,即：(a•b)•c≠a•(b•c)；例如：(a•b)^2≠a^2•b^2.
2、向量的數量積不滿足消去律,即：由 a•b=a•c (a≠0),推不出 b=c.
3、|a•b|≠|a|•|b|
4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.
4、向量的向量積
定義：兩個向量a和b的向量積（外積、叉積）是一個向量,記作a×b.若a、b不共線,則a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直於a和b,且a、b和a×b按這個次序構成右手系.若a、b共線,則a×b=0.
向量的向量積性質：
∣a×b∣是以a和b爲邊的平行四邊形面積.
a×a=0.
a‖b〈=〉a×b=0.
向量的向量積運算律
a×b=-b×a；
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
（a+b）×c=a×c+b×c.
註：向量沒有除法,「向量AB/向量CD」是沒有意義的.
向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；
① 若且唯若a、b反向時,左邊取等號；
② 若且唯若a、b同向時,右邊取等號.
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.
① 若且唯若a、b同向時,左邊取等號；
② 若且唯若a、b反向時,右邊取等號.
定比分點
定比分點公式（向量P1P=λ•向量PP2）
設P1、P2是直線上的兩點,P是l上不同於P1、P2的任意一點.則存在一個實數 λ,使 向量P1P=λ•向量PP2,λ叫做點P分有向線段P1P2所成的比.
若P1（x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),則有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分點向量公式）
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ).（定比分點坐標公式）
我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點公式
三點共線定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,則A、B、C三點共線
三角形重心判斷式
在△ABC中,若GA +GB +GC=O,則G爲△ABC的重心
[編輯本段]向量共線的重要條件
若b≠0,則a//b的重要條件是存在唯一實數λ,使a=λb.
a//b的重要條件是 xy'-x'y=0.
零向量0平行於任何向量.
[編輯本段]向量垂直的充要條件
a⊥b的充要條件是 a•b=0.
a⊥b的充要條件是 xx'+yy'=0.
零向量0垂直於任何向量.