問一道高數應用題設排水溝的橫截面積一定,橫斷面的上部爲半圓形,下部爲矩形,圓半徑R與矩形高H之比爲何值的時候,使得建溝所

題目：

問一道高數應用題
設排水溝的橫截面積一定,橫斷面的上部爲半圓形,下部爲矩形,圓半徑R與矩形高H之比爲何值的時候,使得建溝所用材料最省.

解答：

假設橫截面積爲S,高度H=k*R (k>0)
則S = 1/2 * PI * R^2 + 2*R*k*R = (PI/2 + 2k) * R^2
所以2k = S/(R^2) - PI/2 --- (1)
又橫截面周長
L = PI * R + 2k * R + 2R
= (S/R^2 + PI/2 + 2) * R
= S * 1/R + (PI/2 + 2) * R
當加號兩邊相等時有最小值根號下(PI+4)*S
此時S/R = R*(PI/2 + 2)
即S = (PI/2 + 2) * R^2
帶入(1)得到k = 1
也就是H=R的時候最節省.