若A,B均爲n階矩陣,且AB=BA,證明：如果A,B都相似於對角矩陣,則存在可逆矩陣C使C^1AC與C^1BC均爲對角矩

題目：

若A,B均爲n階矩陣,且AB=BA,證明：如果A,B都相似於對角矩陣,則存在可逆矩陣C使C^1AC與C^1BC均爲對角矩陣

解答：

A,B滿足上述條件稱爲同時對交化.
若且唯若A,B可交換,A,B可同時對角化.
具體的證明,如果C^(-1)AC與C^(-1)BC均爲對角矩陣,則C^(-1)ACC^(-1)BC=C^(-1)BCC^(-1)AC
故A,B可交換.
如果A,B可交換,設C可以將A對角話,且對角化後相同的特徵值在一起,那麼C1^(-1)AC1是一個對角矩陣,C1^(-1)BC1是一個矩陣.
顯然這兩個是可交換,故無妨設P＝C1^(-1)AC,Q=C1^(-1)BC1,那麼考慮PQ=QP的特點,不難發現,在P的分塊下（相同的值作爲一個分塊,構成一個對角分塊）,Q也構成一個分塊形狀一致的對角分塊,那麼將Q對角話（C2^(-1)QC2是對角的）的話不影響P是一個對角矩陣.那麼記C=C2C1他可以同時將A,B對角化.