圓錐曲線大題答題方法

題目：

圓錐曲線大題答題方法

解答：

高中數學圓錐曲線解題技巧方法總結 圓錐曲線
1.圓錐曲線的兩定義：
第一定義中要重視「括號」內的限制條件：橢圓中,與兩個定點F ,F 的距離的和等於常數 ,且此常數 一定要大於 ,當常數等於 時,軌跡是線段F F ,當常數小於 時,無軌跡；雙曲線中,與兩定點F ,F 的距離的差的絕對值等於常數 ,且此常數 一定要小於|F F |,定義中的「絕對值」與 ＜|F F |不可忽視.若 ＝|F F |,則軌跡是以F ,F 爲端點的兩條射線,若 ﹥|F F |,則軌跡不存在.若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支.
如方程 表示的曲線是_____（答：雙曲線的左支）
2.圓錐曲線的標準方程（標準方程是指中心（頂點）在原點,坐標軸爲對稱軸時的標準位置的方程）：
（1）橢圓：焦點在 軸上時 （ ）,焦點在 軸上時 ＝1（ ）.方程 表示橢圓的充要條件是什麼?（ABC≠0,且A,B,C同號,A≠B）.
若 ,且 ,則 的最大值是____, 的最小值是___（答： ）
（2）雙曲線：焦點在 軸上： =1,焦點在 軸上： ＝1（ ）.方程 表示雙曲線的充要條件是什麼?（ABC≠0,且A,B異號）.
如設中心在坐標原點 ,焦點 、 在坐標軸上,離心率 的雙曲線C過點 ,則C的方程爲_______（答： ）
（3）拋物線：開口向右時 ,開口向左時 ,開口向上時 ,開口向下時 .
3.圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標準方程,然後再判斷）：
（1）橢圓：由 , 分母的大小決定,焦點在分母大的坐標軸上.
如已知方程 表示焦點在y軸上的橢圓,則m的取值範圍是__（答： ）
（2）雙曲線：由 , 項係數的正負決定,焦點在係數爲正的坐標軸上；
（3）拋物線：焦點在一次項的坐標軸上,一次項的符號決定開口方向.
提醒：在橢圓中, 最大, ,在雙曲線中, 最大, .
4.圓錐曲線的幾何性質：
（1）橢圓（以 （ ）爲例）：①範圍： ；②焦點：兩個焦點 ；③對稱性：兩條對稱軸 ,一個對稱中心（0,0）,四個頂點 ,其中長軸長爲2 ,短軸長爲2 ；④準線：兩條準線 ； ⑤離心率： ,橢圓 , 越小,橢圓越圓； 越大,橢圓越扁.
如（1）若橢圓 的離心率 ,則 的值是__（答：3或 ）；
（2）以橢圓上一點和橢圓兩焦點爲頂點的三角形的面積最大值爲1時,則橢圓長軸的最小值爲__（答： ）
（2）雙曲線（以 （ ）爲例）：①範圍： 或 ；②焦點：兩個焦點 ；③對稱性：兩條對稱軸 ,一個對稱中心（0,0）,兩個頂點 ,其中實軸長爲2 ,虛軸長爲2 ,特別地,當實軸和虛軸的長相等時,稱爲等軸雙曲線,其方程可設爲 ；④準線：兩條準線 ； ⑤離心率： ,雙曲線 ,等軸雙曲線 , 越小,開口越小, 越大,開口越大；⑥兩條漸近線： .
（3）拋物線（以 爲例）：①範圍： ；②焦點：一個焦點 ,其中 的幾何意義是：焦點到準線的距離；③對稱性：一條對稱軸 ,沒有對稱中心,只有一個頂點（0,0）；④準線：一條準線 ； ⑤離心率： ,拋物線 .
如設 ,則拋物線 的焦點坐標爲________（答： ）；
5、點 和橢圓 （ ）的關係：（1）點 在橢圓外 ；（2）點 在橢圓上 ＝1；（3）點 在橢圓內
6．直線與圓錐曲線的位置關係：
（1）相交： 直線與橢圓相交； 直線與雙曲線相交,但直線與雙曲線相交不一定有 ,當直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線相交且只有一個交點,故 是直線與雙曲線相交的充分條件,但不是必要條件； 直線與拋物線相交,但直線與拋物線相交不一定有 ,當直線與拋物線的對稱軸平行時,直線與拋物線相交且只有一個交點,故 也僅是直線與拋物線相交的充分條件,但不是必要條件.
（2）相切： 直線與橢圓相切； 直線與雙曲線相切； 直線與拋物線相切；
（3）相離： 直線與橢圓相離； 直線與雙曲線相離； 直線與拋物線相離.
提醒：（1）直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時的位置關係有兩種情形：相切和相交.如果直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線相交,但只有一個交點；如果直線與拋物線的軸平行時,直線與拋物線相交,也只有一個交點；（2）過雙曲線 ＝1外一點 的直線與雙曲線只有一個公共點的情況如下：①P點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區域內時,有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線,共四條；②P點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區域內時,有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線,共四條；③P在兩條漸近線上但非原點,只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線,一條是切線；④P爲原點時不存在這樣的直線；（3）過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行於對稱軸的直線.
7、焦點三角形（橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構成的三角形）問題： ,當 即 爲短軸端點時, 的最大值爲bc；對於雙曲線 . 如 （1）短軸長爲 ,
8、拋物線中與焦點弦有關的一些幾何圖形的性質：（1）以過焦點的弦爲直徑的圓和準線相切；（2）設AB爲焦點弦, M為準線與x軸的交點,則∠AMF＝∠BMF；（3）設AB爲焦點弦,A、B在準線上的射影分別爲A ,B ,若P爲A B 的中點,則PA⊥PB；（4）若AO的延長線交準線於C,則BC平行於x軸,反之,若過B點平行於x軸的直線交準線於C點,則A,O,C三點共線.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
9、弦長公式：若直線 與圓錐曲線相交於兩點A、B,且 分別爲A、B的橫坐標,則 ＝ ,若 分別爲A、B的縱坐標,則 ＝ ,若弦AB所在直線方程設爲 ,則 ＝ .特別地,焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦長的計算,一般不用弦長公式計算,而是將焦點弦轉化爲兩條焦半徑之和後,利用第二定義求解.
拋物線：
10、圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用「韋達定理」或「點差法」求解.
在橢圓 中,以 爲中點的弦所在直線的斜率k=－ ；
弦所在直線的方程： 垂直平分線的方程：
在雙曲線 中,以 爲中點的弦所在直線的斜率k= ；在拋物線 中,以 爲中點的弦所在直線的斜率k= .
提醒：因爲 是直線與圓錐曲線相交於兩點的必要條件,故在求解有關弦長、對稱問題時,務必別忘了檢驗 !
11．了解下列結論
（1）雙曲線 的漸近線方程爲 ；
（2）以 爲漸近線（即與雙曲線 共漸近線）的雙曲線方程爲 爲參數, ≠0）.
（3）中心在原點,坐標軸爲對稱軸的橢圓、雙曲線方程可設爲 ；
（4）橢圓、雙曲線的通徑（過焦點且垂直於對稱軸的弦）爲 ,焦准距（焦點到相應準線的距離）爲 ,拋物線的通徑爲 ,焦准距爲 ；
（5）通徑是所有焦點弦（過焦點的弦）中最短的弦；
（6）若拋物線 的焦點弦爲AB, ,則① ；②
（7）若OA、OB是過拋物線 頂點O的兩條互相垂直的弦,則直線AB恆經過定點
12、解析幾何與向量綜合時可能出現的向量內容：
（1） 給出直線的方向向量 或 ；
（2）給出 與 相交,等於已知 過 的中點;
（3）給出 ,等於已知 是 的中點;
（4）給出 ,等於已知 與 的中點三點共線;
（5） 給出以下情形之一：① ；②存在實數 ；③若存在實數 ,等於已知 三點共線.
（6） 給出 ,等於已知 ,即 是直角,給出 ,等於已知 是鈍角, 給出 ,等於已知 是銳角,
（8）給出 ,等於已知 是 的平分線/
（9）在平行四邊形 中,給出 ,等於已知 是菱形;
（10） 在平行四邊形 中,給出 ,等於已知 是矩形;
（11）在 中,給出 ,等於已知 是 的外心（三角形外接圓的圓心,三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點）；
（12） 在 中,給出 ,等於已知 是 的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點）；
（13）在 中,給出 ,等於已知 是 的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點）；
（14）在 中,給出 等於已知 通過 的內心；
（15）在 中,給出 等於已知 是 的內心（三角形內切圓的圓心,三角形的內心是三角形三條角平分線的交點）；
（16） 在 中,給出 ,等於已知 是 中 邊的中線;
（3）已知A,B爲拋物線x2=2py(p>0)上異於原點的兩點, ,點C坐標爲（0,2p）
（1）求證：A,B,C三點共線；
（2）若 ＝ （ ）且 試求點M的軌跡方程.
（1）證明：設 ,由 得
,又
, ,即A,B,C三點共線.
（2）由（1）知直線AB過定點C,又由 及 ＝ （ ）知OM^AB,垂足爲M,所以點M的軌跡爲以OC爲直徑的圓,除去坐標原點.即點M的軌跡方程爲x2+(y-p)2=p2(x¹0,y¹0).
13.圓錐曲線中線段的最值問題：
例1、(1)拋物線C:y2­=4x上一點P到點A(3,4 )與到準線的距離和最小,則點 P的坐標爲______________
(2)拋物線C: y2­=4x上一點Q到點B(4,1)與到焦點F的距離和最小,則點Q的坐標爲 .
分析：（1）A在拋物線外,如圖,連PF,則 ,因而易發現,當A、P、F三點共線時,距離和最小.
（2）B在拋物線內,如圖,作QR⊥l交於R,則當B、Q、R三點共線時,距離和最小. （1）（2, ）（2）（ ）
1、已知橢圓C1的方程爲 ,雙曲線C2的左、右焦點分別爲C1的左、右頂點,而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點.
(1) 求雙曲線C2的方程；
(2) 若直線l： 與橢圓C1及雙曲線C2恆有兩個不同的交點,且l與C2的兩個交點A和B滿足 (其中O爲原點),求k的取值範圍.
（Ⅰ）設雙曲線C2的方程爲 ,則
故C2的方程爲 （II）將
由直線l與橢圓C1恆有兩個不同的交點得
即 ①
.由直線l與雙曲線C2恆有兩個不同的交點A,B得
解此不等式得 ③
由①、②、③得
故k的取值範圍爲
在平面直角坐標系xOy中,已知點A(0,-1),B點在直線y = -3上,M點滿足MB//OA, MA•AB = MB•BA,M點的軌跡爲曲線C.
（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P爲C上的動點,l爲C在P點處得切線,求O點到l距離的最小值.
(Ⅰ)設M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以 =（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2).再由願意得知（ + ）• =0,即（-x,-4-2y）• (x,-2)=0.
所以曲線C的方程式爲y= x -2. (Ⅱ)設P(x ,y )爲曲線C：y= x -2上一點,因爲y = x,所以 的斜率爲 x 因此直線 的方程爲 ,即 .
則O點到 的距離 .又 ,所以
當 =0時取等號,所以O點到 距離的最小值爲2.
設雙曲線 （a＞0,b＞0）的漸近線與拋物線y=x2 +1相切,則該雙曲線的離心率等於( )
設雙曲線 的一條漸近線,則雙曲線的離心率爲( ).
過橢圓 ( )的左焦點 作 軸的垂線交橢圓於點 , 爲右焦點,若 ,則橢圓的離心率爲 已知雙曲線 的左、右焦點分別是 、 ,其一條漸近線方程爲 ,點 在雙曲線上.則 · ＝( )0
已知直線 與拋物線 相交於 兩點, 爲 的焦點,若 ,則 ( )
已知直線 和直線 ,拋物線 上一動點 到直線 和直線 的距離之和的最小值是（ ）
設已知拋物線C的頂點在坐標原點,焦點爲F(1,0),直線l與拋物線C相交於A,B兩點.若AB的中點爲（2,2）,則直線l的方程爲_____________.
橢圓 的焦點爲 ,點P在橢圓上,若 ,則 ； 的大小爲 .
過拋物線 的焦點F作傾斜角爲 的直線交拋物線於A、B兩點,若線段AB的長爲8,則 ________________
【解析】設切點 ,則切線的斜率爲 .由題意有 又 解得:
雙曲線 的一條漸近線爲 ,由方程組 ,消去y,得 有唯一解,所以△= ,所以 ,
由漸近線方程爲 知雙曲線是等軸雙曲線,∴雙曲線方程是 ,於是兩焦點坐標分別是（－2,0）和（2,0）,且 或 .不妨去 ,則 , .
∴ · ＝
【解析】設拋物線 的準線爲 直線
恆過定點P .如圖過 分 別作 於 , 於 , 由 ,則 ,點B爲AP的中點.連結 ,則 ,
點 的橫坐標爲 , 故點 的坐標爲
, 故選D