一道微分方程題.要過程.謝謝.見圖片.

題目：

一道微分方程題.要過程.謝謝.見圖片.
式子見圖.式子的條件是t>=0...而且當t等於零時x也等於0.1.解微分方程.用t表示x.2.當t變得非常大時x的值.3.爲什麼x隨著t的增加而增加.

解答：

1. 方程是分離變量型的: dx/cos²x=exp(-2t)dt. 兩邊積分: tanx=C-exp(-2t)/2, C爲常數.t=0時x=0, 帶入可得C=1/2. 所以原方程的解爲x(t)=arctan[1-exp(-2t)/2]/2. (t≥0) 2. t->+∞時,exp(-2t)/2->0. 所以x(t)->arctan(1/2). 3. 由原方程知x'(t)=exp(-2t)*cos²x≥0. x(t)導數非負,所以單調增! 當然,也可以由解的表達式直接看出,但這不是出題人的意思.這種問題希望的是直接從方程本身判斷某些性質.