快來救救我AB、CD是圓O的兩條相互垂直的弦,OM垂直AC,M爲垂足,求證OM等於二分之一BD

題目：

快來救救我
AB、CD是圓O的兩條相互垂直的弦,OM垂直AC,M爲垂足,求證OM等於二分之一BD

解答：

AB、CD是圓O的兩條相互垂直的弦,則：
弦AC和弦BD對應的圓心角有：∠AOC＋∠BOD＝180度
連接AO並延長交圓於N,則∠CON＋∠AOC＝180
因此∠BOD＝∠CON＝2∠CAO
做OK垂直BD於K,則BK=DK,2∠KOD=2∠KOB=∠BOD
所以：∠CAO=∠KOB=∠KOD
因此直角三角形⊿AMO與⊿OKD、⊿OKB全等
所以OM=KD=KB=BD/2
得證.