若向量b能由a1,a2,a3這三個向量線性表示且表達式唯一,證明：向量組a1,a2,a3線性無關

題目：

若向量b能由a1,a2,a3這三個向量線性表示且表達式唯一,證明：向量組a1,a2,a3線性無關
證明不用很詳細,關鍵是思路!

解答：

證明：設k1a1+k2a2+k3a3=b
若b=0由0向量的唯一表示,證明a1,a2,a3線性無關
若b不等於0向量,則k1,k2,k3至少一個不爲0向量,不妨設爲k3,
若a1,a2,a3線性相關,設存在線性關係pa1+qa2=a3(p,q不全爲0）
則有(p+k1)a1+(q+k2)a2+0a3=b,又k3不等於0,則存在兩種不同的表達式表示b,與題設矛盾,所以a1,a2,a3線性無關.