某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發時，輪船位於港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的

題目：

某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發時，輪船位於港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，並以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設該小船沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛，經過t小時與輪船相遇．
（1）若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應爲多少？
（2）假設小艇的最高航行速度只能達到30海里/小時，試設計航行方案（即確定航行方向與航行速度的大小），使得小艇能以最短時間與輪船相遇，並說明理由．

解答：

（1）如圖設小艇的速度爲v，時間爲t相遇，
則由余弦定理得：OC²=AC²+OA²-2×AC×OAcos∠OAC
即：vt²=400+900t²-1200tcos60⁰=900t²-600t+400=900(t−
1
3)2+300
當t=
1
3時，取得最小值，此時，v=30
3
（2）要用時最小，則首先速度最高，即爲：30海里/小時，則由（1）可得：OC²=AC²+OA²-2×AC×OAcos∠OAC即：（30t）²=400+900t²-1200tcos60⁰解得：t=
2
3，此時∠BOD=30°
此時，在△OAB中，OA=OB=AB=20，故可設計航行方案如下：
航行方向爲北偏東30°，航行速度爲30海里/小時，小艇能以最短時間與輪船相遇．

試題解析：

（1）如圖設小艇的速度爲v，時間爲t相遇，則由余弦定理得：OC²=AC²+OA²-2×AC×OAcos∠OAC，即：vt²=400+900t²-1200tcos60⁰=900t²-600t+400=900(t−

1

3

)2+300再由二次函數法求解最值．
（2）根據題意，要用時最小，則首先速度最高，即爲：30海里/小時，然後是距離最短，則由（1）可得：
OC²=AC²+OA²-2×AC×OAcos∠OAC即：（30t）²=400+900t²-1200tcos60⁰解得：t=

2

3

，再解得相應角．

名師點評：

本題考點： 函數模型的選擇與應用．
考點點評： 本題主要考查函數模型的建立和應用，主要涉及了餘弦定理，二次函數法求最值，還考查了數形結合的思想．