2012第十八屆全國初中物理競賽初賽答案

題目：

2012第十八屆全國初中物理競賽初賽答案
2012的

解答：

第22屆全國中學生物理競賽複賽題參考解答
一、1．如圖所示,設滑塊出發點爲 ,離開點爲 ,按題意要求 、 與豎直方向的夾角相等,設其爲 ,若離開滑道時的速度爲v,則滑塊在 處脫離滑道的條件是
(1)
由機械能守恆
(2)
(1)、(2)聯立解得
或 (3)
2．設滑塊剛能在O點離開滑道的條件是
（4）
v0爲滑塊到達O點的速度,由此得
（5）
設到達O點的速度爲v0的滑塊在滑道OA上的出發點到 的連線與豎直的夾角爲 ,由機械能守恆,有
（6）
由（5）、（6）兩式解得
（7）
若滑塊到達O點時的速度 ,則對OB滑道來說,因O點可能提供的最大向心力爲mg,故滑塊將沿半徑比R大的圓周的水平切線方向離開O點．對於 的滑塊,其在OA上出發點的位置對應的 角必大於 ,即 ,由於 ,根據機械能守恆,到達O點的最大速度
（8）
由此可知,能從O點離開滑道的滑塊速度是v0到 之間所有可能的值,也就是說, 從 至 下滑的滑塊都將在O點離開滑道．以速度v0從O點沿水平方向滑出滑道的滑塊,其落水點至 的距離
（9）
（10）
由（5）、（9）、（10）式得
（11）
當滑塊以 從O點沿水平方向滑出滑道時,其落水點到 的距離
（12）
由（8）、（10）、（12）式得
（13）
因此,凡能從O點脫離滑道的滑塊,其落水點到 的距離在 到 之間的所有可能值．即
（14）
二、1．由靜電感應知空腔1、2及3的表面分別出現¬¬電量爲 、 和 的面電荷,由電荷守恆定律可知,在導體球的外表面呈現出電量 ¬¬．由靜電屏蔽可知,點電荷q1及感應電荷（ ）在空腔外產生的電場爲零；點電荷q2及感應電荷（ ¬¬）在空腔外產生的電場爲零；點電荷q3及感應電荷（¬¬ ）在空腔外產生的電場爲零．因此,在導體球外沒有電荷時,球表面的電量 作球對稱分布．
當球外P點處放置電荷Q後,由於靜電感應,球面上的總電量仍爲 ,但這些電荷在球面上不再均勻分布,由球外的Q和重新分布在球面上的電荷在導體球內各點產生的合場強爲零．
O3處的電勢由位於P點處的Q、導體球表面的電荷 及空腔3表面的感應電荷（ ）共同產生．無論 在球面上如何分布,球面上的面電荷到O點的距離都是R,因而在O點產生的電勢爲 , Q在O點產生的電勢爲 ,這兩部分電荷在O3點產生的電勢 與它們在O點產生的電勢相等,即有
（1）
因q3放在空腔3的中心處,其感應電荷 在空腔3壁上均勻分布．這些電荷在O3點產生的電勢爲
(2)
根據電勢疊加定理,O3點的電勢爲
(3)
故q3的電勢能
(4)
2． 由於靜電屏蔽,空腔1外所有電荷在空腔1內產生的合電場爲零,空腔1內的電荷q1僅受到腔內壁感應電荷 的靜電力作用,因q1不在空腔1的中心O1點,所以感應電荷 在空腔表面分布不均勻,與q1相距較近的區域電荷面密度較大,對q1的吸力較大,在空腔表面感應電荷的靜電力作用下,q1最後到達空腔1表面,與感應電荷 中和．同理,空腔2中q2也將在空腔表面感應電荷 的靜電力作用下到達空腔2的表面與感應電荷 中和．達到平衡後,腔1、2表面上無電荷分布,腔3表面和導體球外表面的電荷分布沒有變化．O3的電勢仍由球外的電荷Q和導體球外表面的電量 及空腔3內壁的電荷 共同產生,故O3處的電勢U與q3的電勢能W仍如(3)式與(4)式所示．

三、答案如圖所示．
附計算過程：
電阻通電後對氣體緩慢加熱,氣體的溫度升高,壓強增大,活塞開始有向外運動的趨勢,但在氣體對活塞的作用力尚未達到外界大氣對活塞的作用力和器壁對活塞的最大靜摩擦之和以前,活塞不動,即該過程爲等容過程．因氣體對外不做功,根據熱力學第一定律可知,在氣體溫度從T0升高到T的過程中,氣體從電阻絲吸收的熱量,
(1)
此過程將持續到氣體對活塞的作用力等於外界大氣對活塞的作用力和器壁對活塞的最大靜摩擦之和．若用T1表示此過程達到末態的溫度,p表示末態的壓強,Q1表示此過程中氣體從電阻絲吸收的熱量,由等容過程方程有
(2)
由力的平衡可知
(3)
由（2）、（3）兩式可得
(4)
代入(1)式得
(5)
由以上討論可知,當 時,T與Q的關係爲
(6)
在 圖中爲一直線如圖中 所示,其斜率
(7)
直線在T軸上的截距等於T0,直線ab的終點b的坐標爲（T1,Q1）．
當電阻絲繼續加熱,活塞開始向外運動以後,因爲過程是緩慢的,外界大氣壓及摩擦力皆不變,所以氣體的壓強不變,仍是p,氣體經歷的過程爲等壓過程．在氣體的體積從初始體積V0增大到V,溫度由T1升高到T的過程中,設氣體從電阻絲吸收的熱量爲 ,活塞運動過程中與器壁摩擦生熱的一半熱量爲q,由熱力學第一定律可知
(8)
q可由摩擦力做功求得,即
(9)
代入（8）式得
(10)
由狀態方程式可知
(11)
將（11）式和（4）式代入（10）式,得

即
（12）
從開始對氣體加熱到氣體溫度升高到T( >T1)的過程中,氣體從電阻絲吸收的總熱量
（13）
把（13）式代入到（12）式,並注意到（4）式和（5）,得
（14）
由此可知,當 時,T與Q的關係仍爲一直線,此直線起點的坐標爲 , ；斜率爲
（15）
在 圖中,就是直線bd,當熱量Q從零開始逐漸增大,氣體溫度T 將從起始溫度T0沿著斜率爲Kab的直線 上升到溫度爲T1的b點,然後沿著斜率爲Kbd的直線 上升,如圖所示．
四、1．相對於車廂參考系,地面連同擋板以速度v趨向光源S運動．由S發出的光經小孔射出後成錐形光束,隨離開光源距離的增大,其橫截面積逐漸擴大．若距S的距離爲L處光束的橫截面正好是半徑爲R的圓面,如圖所示,則有

可得
(1)
設想車廂足夠長,並設想在車廂前端距S爲L處放置一個半徑爲R的環,相對車廂靜止,則光束恰好從環內射出．當擋板運動到與此環相遇時,擋板就會將光束完全遮住．此時,在車廂參考系中擋板離光源S的距離就是L．在車廂參考系中,初始時,根據相對論,擋板離光源的距離爲
(2)
故出現擋板完全遮住光束的時刻爲
(3)
由（1）、（3）式得
(4)
2．相對於地面參考系,光源與車廂以速度v向擋板運動．光源與孔之間的距離縮短爲
(5)
而孔半徑r不變,所以錐形光束的頂角變大,環到S的距離即擋板完全遮光時距離應爲
(6)
初始時,擋板離S的距離爲xA,出現擋板完全遮住光束的時刻爲
(7)
五、用半徑分別爲r1（>a1）,r2,…,ri,…,rn–1（