如何理解極限思想?我是一名高中生，正在學習導數。對於如何理解極限感到十分疑惑，主要是由導數計算過程中Δx這個量所引起的。

題目：

如何理解極限思想?
我是一名高中生，正在學習導數。對於如何理解極限感到十分疑惑，主要是由導數計算過程中Δx這個量所引起的。下面是我現在的理解以及困惑的地方。
首先我覺得Δx並不是0，不然的話它就不能被放在分號下了。這樣的話，假設化簡原來的分式得到的導數是C+Δx，C是個常數。C+Δx隨著Δx趨近於0的運動而逐漸趨向於C。但這樣考慮的話C就成了一個虛幻的東西。因爲Δx永遠到不了0，C+Δx也就不能爲C。可爲什麼確實存在這樣一個值呢？切線這樣一個實在的東西又該怎麼解釋呢？
我已經看過百度百科中的極限和極限思想條目，所以不必再複製粘貼。

解答：

你的問題跟導數其實沒什麼關係,關鍵是對於極限本身不理解.
極限描述的是一個趨勢,這個趨勢(比如說切線)是客觀存在的,所以就需要引進一個概念去刻劃它,於是就得把"無限接近但未必能達到"嚴格地講清楚.對一般極限定義的理解,你可以先去看
連續型極限的定義也可以類似地理解.
你有必要仔細體會極限的定義.儘管極限來自於一個運動過程,但嚴格的定義是把它靜態化,通過分析運動過程中的每個時刻來完成的.把定義反覆想幾遍,從已有的靜態的定義出發用運動過程去理解定義,而不要反過去想著自己根據運動過程去下定義(你目前還沒有這個功力),搞懂了就不會像你現在這樣迷茫了,別人給你的解釋最多只有輔助作用,最終還得靠你自己想通.
接下來看你提出的具體問題,應該說這些解釋也只是輔助,遠沒有反覆讀定義重要.
"首先我覺得Δx並不是0"
這是對的.
在連續型極限的定義中要注意條件02} f(x)=0,不論x=2處是f(x)否有意義,或者f(2)是多少,x->2這一趨勢是由2周圍的其他點而不是x=2本身來決定的,這是一個"衆望所歸"的結果.
"C+Δx隨著Δx趨近於0的運動而逐漸趨向於C,這樣考慮的話C就成了一個虛幻的東西"
C+Δx是在運動過程中的某一點,而C是運動的最終趨勢,這個趨勢固然是由運動的過程來決定的,但這是一個表示運動結果的靜態的量,沒有理由要求這個趨勢一定要在運動的過程中就能達到.如果給運動過程計一個時間的話,過程當中的每一刻時間都是有限的,而其極限對應於無窮遠的時刻,如果有限的過程中就總能達到又何必要用無限的時間去追求.
那麼既然在有限時間內達不到C,而C卻是具有真實意義的東西,那麼給它下一個合理的定義那就可以變成有意義的結果了.極限就是對整個運動過程所做的一個運算.運動過程中的任何一個時刻都不能代表整個過程,所以下定義的時候最好就要 "跳出這個過程!" (到大學以後你會學到Cauchy收斂原理,這套方法可以不跳出運動過程而達到相同的效果.但最終如果你學到更抽象的空間就會知道這還是會有細微的差異,離開歐氏空間就完全不一樣了),而直接引進一個結果(即C),然後反回去把結果和過程(即C+Δx,並且Δx->0)做一個比較,只要其差異是可以"要多小就有多小"就已經能反映出這個趨勢了,那麼那個人爲指定的結果就應該是合理的趨勢.如果把C換成其他的常數則不能由C+Δx來逼近,所以剛才"人爲"指定的結果有其必然性,實質上並不是主觀的.
這裡的要點是不要始終把思維局限在運動的過程中,過程到結果畢竟還需要一步額外的操作,不跳出這個局限就不易理解.另外,再打一個比方,要理解三維空間最好的方法是直接站在三維空間裡去看二維空間,而不是站在二維空間裡去想像三維空間,你現在的想法相當於始終停留在平面上.
再問： 感謝您寫下如此長篇的回答爲我解惑。我感覺後半段對具體問題的解答對我比較有幫助，定義我也看了多次，但始終沒有徹悟的感覺。另外請問我該怎麼判斷自己是否理解了極限思想？
再答： 先去把數列極限的定義想明白，你說看過多次了，那麼就再看更多次，一直到你覺得定義就應該這麼下的時候才算理解