求函數表達式已知函數f(x) f'(x)=kf(x)+b k＜0 f（0）=0 f』（0）=3 就是（0 ,0）點切線斜

題目：

求函數表達式
已知函數f(x) f'(x)=kf(x)+b k＜0 f（0）=0 f』（0）=3 就是（0 ,0）點切線斜率3 f（x）的漸近線爲y=2 能求f（x）嗎

解答：

因爲f'(x)=kf(x)+b,且f（0）=0,f』（0）=3
所以3=f'(0)=kf(0)+b=b
又因爲 f（x）的漸近線爲y=2,所以當x接近正無窮或者負無窮時,f『（x）=0,f（x）=2
帶入f'(x)=kf(x)+3
可得k=-3/2
所以f'(x)=-3/2 *f(x)+3
所以可寫作dy/dx=3-3y/2
所以dy/（3-3y/2）=dx
兩邊求積分可得-2ln（3-3y/2）/3=x+C （C是常數）
因爲f（0）=0,
所以C=-（2ln3）/3
所以-2ln（3-3y/2）/3=x-（2ln3）/3
所以ln（3-3y/2）=-3x/2 +ln3
所以e^(-3x/2 +ln3)=3-3y/2
所以y=2-2e^(-3x/2 +ln3)/3
驗算f 』（x）=-2e^(-3x/2 +ln3)/3 *（-3/2）=e^(-3x/2 +ln3)
-3/2 *f(x)+3=-3/2 *（2-2e^(-3x/2 +ln3)/3）+3=e^(-3x/2 +ln3)
f（0）=2-2e^(ln3)/3=0
因爲f 』（x）=e^(-3x/2 +ln3)
所以f』（0）=e^(ln3)=3.
所以函數y=2-2e^(-3x/2 +ln3)/3
符合條件f'(x)=kf(x)+b k＜0
f（0）=0
f』（0）=3
f（x）的漸近線爲y=2.