已知函數f（x）=1+2tanx1+tan2x-（1+cos2x）•tan2x，給出下列四個命題：

解答：

化簡可得f（x）=1+
2tanx
1+tan2x-（1+cos2x）•tan²x
=1+

2sinx
cosx
1+
sin2x
cos2x-（1+2cos²x-1）•tan²x
=1+
2sinxcosx
cos2x+sin2x-2cos²x•tan²x=1+sin2x-2sin²x
=sin2x+cos2x=
2sin（2x+
π
4）
由2kπ+
π
2≤2x+
π
4≤2kπ+
3π
2解得kπ+
π
8≤x≤kπ+
5π
8，k∈Z
∴①函數f（x）的最小正周期爲π，且在[
π
8，
5
8π]上遞減，正確；
由2x+
π
4=kπ+
π
2可得x=
k
2π+
π
8，k∈Z
∴②直線x=
π
8是函數f（x）的圖象的一條對稱軸，正確；
由2x+
π
4=kπ可得x=
k
2π-
π
8，可得對稱中心爲（
k
2π-
π
8，0）k∈Z
∴③對稱中心爲（kπ+
π
8，0），錯誤；
④若x∈[0，
π
8]，則（2x+
π
4）∈[
π
4，
π
2]，
∴sin（2x+
π
4）∈[

2
2，1]，可得f（x）的值域爲[1，
2]，正確．
故答案爲：①②④

試題解析：

化簡可得f（x）=