已知函數f （x）=4sinx•sin2（π4+x2）+2cos2x+1+a，x∈R是一個奇函數．

題目：

已知函數f （x）=4sinx•sin²（

π

4

解答：

化簡得f（x）=2sinx+a+3
（1）f（-x）=-f（x）⇒a=-3∴f（x）=2sinx
f（x）∈[-2，2]（4分）
（2）f（wx）=2sinwx（w＞0）
-
π
2+2kπ≤wx≤2kπ+
π
2k∈Z
-
π
2w+
2kπ
w≤x≤
kπ
w+
π
2w


−
π
2w≤−
π
2

2
3π≤
π
2w⇒0＜w≤
3
4
綜上以上，0＜w≤
3
4（8分）
（3）|θ|＜
π
2，x∈R時
4+4sin（x+θ）sin（x-θ）＞4sinx
即sin²x-sinx+1＞sin²θ恆成立
（sin²x-sinx+1）_min=
3
4
∴sin²θ＜
3
4
-

3
2＜sinθ＜

3
2

試題解析：

首先將函數化簡（1）根據函數是奇函數求出a的值，然後有正弦函數求出值域；
（2）寫出函數f （wx）的式子，然後根據正弦函數的單調性求出x的範圍，進而根據區間[-

π

2

，

2π

3

]的增函數，求出w的取值範圍；
（3）首先求出4+f （x+θ）f （x-θ）並化簡和求出最小值

3

4

，再利用sin²θ＜

3

4

，求出結果．

名師點評：

本題考點： 正弦函數的單調性；三角函數中的恆等變換應用；正弦函數的奇偶性．
考點點評： 本題考查了正弦函數的單調性和奇偶性以及不等式恆成立問題，對於不等式恆成立問題轉化成求函數最值問題即可．屬於中檔題．