（2014•江西模擬）在平面直角坐標系xoy中，以點P爲圓心的圓與圓x2+y2-2y=0外切且與x軸相切（兩切點不重合）

題目：

（2014•江西模擬）在平面直角坐標系xoy中，以點P爲圓心的圓與圓x²+y²-2y=0外切且與x軸相切（兩切點不重合）．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）若直線mx-y+2m+5=0（m∈R）與點P的軌跡交於A、B兩點，問：當m變化時，以線段AB爲直徑的圓是否會經過定點？若會，求出此定點；若不會，說明理由．

解答：

（1）設P（x，y），由題意知y＞0且
x2+(y−1)2＝y+1，得x²=4y
故所求點P的軌跡方程爲x²=4y（y＞0）…（5分）
（2）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
將y=mx+2m+5代入x²=4y得x²-4mx-8m-20=0
∴x₁+x₂=4m，x₁x₂=-8m-20…（7分）
而以線段AB爲直徑的圓的方程爲x²+y²-（x₁+x₂）x+x₁x₂-（y₁+y₂）y+y₁y₂=0，
即x2+y2−(x1+x2)x+x1x2−
1
4[(x1+x2)2−2x1x2]y+

x21
x22
16＝0，
得x²+y²-4mx-（4m²+4m+10）y+4m²+12m+5=0，…（10分）
整理成關於m的方程4m²（1-y）+4m（3-x-y）+x²+y²-10y+5=0
由於以上關於m的方程有無數解，故1-y=0且3-x-y=0且x²+y²-10y+5=0，
由以上方程構成的方程組有唯一解x=2，y=1．
由此可知，以線段AB爲直徑的圓必經過定點（2，1）．…（13分）

試題解析：

（1）根據以點P爲圓心的圓與圓x²+y²-2y=0外切且與x軸相切，建立方程，化簡可求動點P的軌跡方程；
（2）將y=mx+2m+5代入x²=4y得x²-4mx-8m-20=0，利用以線段AB爲直徑的圓的方程爲x²+y²-（x₁+x₂）x+x₁x₂-（y₁+y₂）y+y₁y₂=0，結合韋達定理，可得關於m的方程4m²（1-y）+4m（3-x-y）+x²+y²-10y+5=0，利用關於m的方程有無數解，即可得出結論．

名師點評：

本題考點： 直線和圓的方程的應用．
考點點評： 本題考查直線與圓的位置關係，考查軌跡方程的求解，考查恆過定點問題，考查學生分析解決問題的能力，屬於中檔題．