（2009•靜安區二模）已知：⊙O的直徑AB=8，⊙B與⊙O相交於點C、D，⊙O的直徑CF與⊙B相交於點E，設⊙B的半徑

題目：

（2009•靜安區二模）已知：⊙O的直徑AB=8，⊙B與⊙O相交於點C、D，⊙O的直徑CF與⊙B相交於點E，設⊙B的半徑爲x，OE的長爲y．
（1）如圖，當點E在線段OC上時，求y關於x的函數解析式，並寫出定義域；
（2）當點E在直徑CF上時，如果OE的長爲3，求公共弦CD的長；
（3）設⊙B與AB相交於G，試問△OEG能否爲等腰三角形？如果能夠，請直接寫出BC的長度（不必寫過程）；如果不能，請簡要說明理由．

解答：

（1）連接BE，
∵⊙O的直徑AB=8，
∴OC=OB=
1
2AB=4．
∵BC=BE，
∴∠BEC=∠C=∠CBO．
∴△BCE∽△OCB．
∴
CE
CB＝
BC
OC．
∵CE=OC-OE=4-y，
∴
4−y
x＝
x
4．
∴y關於x的函數解析式爲y＝4−
1
4x2，定義域爲0＜x≤4．

（2）作BM⊥CE，垂足爲M，

∵CE是⊙B的弦，
∴EM=
1
2CE．
設兩圓的公共弦CD與AB相交於H，則AB垂直平分CD，
∴CH=OC•sin∠COB=OB•sin∠COB=BM．
當點E在線段OC上時，EM=
1
2CE=
1
2（OC-OE）=
1
2(4−3)＝
1
2，
∴OM=EM+OE=3
1
2．
∴BM=
1
2
15．
∴CD=2CH=2BM=
15．
當點E在線段OF上時，EM=
1
2CE=
1
2（OC+OE）=
1
2(4+3)＝
7
2．
∴OM=EM-OE=
7
2−3＝
1
2．
∴BM=
OB2−OM2＝
42−(
1
2)2＝
3
7
2．
∴CD=2CH=2BM=3
7．

（3）△OEG能爲等腰三角形，BC的長度爲
4
5π或
12
7π．

試題解析：

（1）欲求y關於x的函數解析式，連接BE，證明△BCE∽△OCB即可；
（2）求公共弦CD的長，作BM⊥CE，垂足爲M．通過圓的知識得出BM=0.5CD，轉化爲求BM的長；分爲兩種情況：點E在線段OC上時；點E在線段OF上時，求出BM的長；
（3）△OEG爲等腰三角形，分爲兩種情況：點E在線段OC上時；點E在線段OF上時，根據角的關係先求出角的度數，從而求出BC的長度．

名師點評：

本題考點： 圓與圓的位置關係；等腰三角形的性質；勾股定理；相似三角形的判定與性質．
考點點評： 本題難度較大，數形結合，考查了兩圓的位置關係、相似三角形的性質和函數結合，做題時一定要分析各種情況，不要遺漏．