（2013•長寧區二模）如圖，直線AB交x軸於點A，交y軸於點B，O是坐標原點，A（-3，0）且sin∠ABO=35，拋

題目：

（2013•長寧區二模）如圖，直線AB交x軸於點A，交y軸於點B，O是坐標原點，A（-3，0）且sin∠ABO=

3

5

解答：

（1）在Rt△ABO中 sin∠ABO=
OA
AB=
3
5，
∵OA=3，
∴AB=5
則OB=
AB2−OA2=4，
故點B的坐標爲：（0，4），
設直線AB解析式爲：y=kx+b（k≠0），
將A（-3，0）、B（0，4）代入得

−3k+b＝0
b＝4，
解得：

k＝
4
3
b＝4，
∴AB直線解析式：y=
4
3x+4．
將A（-3，0）、C（-1，0）、B（0，4）代入拋物線解析式可得：

9a−3b+c＝0
a−b+c＝0
c＝4，
解得：

a＝
4
3
b＝
16
3
c＝4，
故拋物線解析式：y=
4
3x²+
16
3x+4．

（2）設P（x，
4
3x+4），已知D的坐標爲：（2，0），
①若△ABO∽△APD，
則
AO
AD=
AB
AP=
BO
PD，即
3
5=
4
DP，
解得：DP=
20
3，
故點P的坐標爲（2，
20
3）．
②若△ABO∽△ADP，
則
AB
AD=
AO
AP，即
5
5=
3
AP，
解得：AP=3，
則（x+3）²+（
4
3x+4）²=3²，
解得：x₁=-
6
5，x₂=-
24
5（不符合題意，捨去），
故點P的坐標爲：（-
6
5，
12
5）．
（3）⊙D的半徑r=2，
當點P的坐標爲（2，
20
3）時，⊙A的半徑AP=
25
3，AD=5＜
25
3-2，
故此時兩圓內含；
當點P的坐標爲：（-
6
5，
12
5）時，⊙A的半徑AP=3，AD=5=3+2，
故此時兩圓外切．

試題解析：

（1）根據sin∠ABO的值求出AB、OB的長度，從而得出點B的坐標，利用待定係數法可求出直線AB的解析式及拋物線解析式；
（2）根據（1）求出的直線AB的解析式，可設點P的坐標爲（x，

4

3

x+4），①△ABO∽△APD，②△ABO∽△ADP，利用對應邊成比例求出點P的坐標；
（3）根據（2）的答案，求出每種情況下的圓心距，繼而可判斷⊙A和⊙D的位置關係．

名師點評：

本題考點： 二次函數綜合題．
考點點評： 本題考查了二次函數綜合題，涉及了待定係數法求函數解析式，第二問需要分類討論，不要漏解，第三問要求同學們掌握判斷圓與圓位置關係的方法，有一定難度．