（2014•甘肅二模）已知函數f（x）=sin2x+23sinxcosx+3cos2x．

題目：

（2014•甘肅二模）已知函數f（x）=sin²x+2

3

解答：

（Ⅰ）∵f（x）=sin²x+2
3sinxcosx+3cos²x，
=
3sin2x+2-
1−cos2x
2+1
=
3sin2x+cos2x+2
=2sin（2x+
π
6）+2．
所以最小正周期爲：T=
2π
2=π
當-
π
2+2kπ≤2x+
π
6≤
π
2+2kπ（k∈Z），即-
π
3+kπ≤x≤
π
6+kπ（k∈Z）時函數單調增，
∴函數f（x）的單調增區間爲[-
π
3+kπ，
π
6+kπ]（k∈Z）．      
（Ⅱ）∵f（x）=2sin（2x+
π
6）+2，
∴f（α）=2sin（2α+
π
6）+2=3，
∴sin（2α+
π
6）=
1
2，
∵α∈(0，
π
2)，
∴2α+
π
6∈（
π
6，
7π
6），
∴2α+

試題解析：

（Ⅰ）利用二倍角公式和兩角和公式對函數解析式進行化簡整理求得函數解析式，利用三角函數的性質求得其最小正周期T和單調增區間．
（Ⅱ）利用f（a）=3求得sin（2a+

π

6

）的值，進而求得a．

名師點評：

本題考點： 三角函數中的恆等變換應用；三角函數的周期性及其求法．
考點點評： 本題主要考查了三角函數的恆等變換的應用，三角函數的圖象和性質．要充分利用好三角函數的圖象，利用數形結合的思想來解決三角函數的相關問題．