喬治波利亞：教師十誡

喬治波利亞《數學的發現--對解題的理解、研究和講授》P298-303

 1. 要對你講的課題感興趣。

教師厭煩的課題，整個班級也會無例外地厭煩。這就足夠證明教師的第一和首要的一誡：要對你講的課題有興趣。

2. 要懂得你講的課題。

假如你對一個課題無興趣，那就不要去教它，因為你不可能教得讓人接受的。興趣是一種必要性，一種不可缺少的必要條件，但它并不是一個充分條件。不管你有多大的興趣，或什麼教學方法或其他等等，都不可能使你向學生講清楚你自己并沒有弄懂的事情。

這就足夠說明教師的第二誡：要懂得你講的課題。

無論是對課題的興趣或是關于課題的知識，兩者對教師都是必不可少的。我之所以把興趣放在第一位，是因為有了真正的興趣，就能使你更好地學到必要的知識，反過來，若僅有某些知識但卻缺乏興趣，你必然當不了一位好教師。

3. 要懂得學習的途徑：學習任何東西的最佳途徑是靠自己去發現它。

你應當從自己的經驗中及從對學生的觀察中去了解學習的途徑并且詳細熟悉學習的過程。現在，有一條告訴你不能夠滿足于耳聞和空談的學習原則：主動學習的原則，它的中心思想是：學習任何東西的最佳途徑就是自己去發現它。你應當努力去懂得它并真正理解它。

4. 要讀懂你的學生的臉上的表情，弄清楚他們的期望和困難，把自己放在他們的位置上。

為了教與學的正常進行，在教師和學生之間必須要有某種接觸和聯系。教師應當能夠了解學生的情況，他應當能夠注意到學生的反映。于是就有下一誡：要讀懂你的學生的臉上的表情，弄清楚他們的期望和困難，把自己放在他們的位置上。

學生對你的教學的反應取決于他們以往的經曆，他們的見解與興趣。因此要把他們知道什麼，他們不知道什麼，他們想知道什麼以及他們不想知道什麼，他們應當知道什麼以及什麼對他們學習來講是無關禁藥的等等這些問題，經常放在心中加以考慮。

5. 不僅要教給他們知識，并且要教給他們“技能”、思維方法和有條不紊的工作習慣。

學問，部分是由“知識”部分是由“技能”所組成的。技能是技巧，是一種處理知識、運用它為既定目的服務的能力。技能可以描述為一組适當的思維方法，從根本上講，技能就是有條不紊地工作的能力。

在數學裡，技能就是解決問題，構造證明和批判地去檢驗解答和證明的能力。而且在數學裡，技能比起僅僅具備知識，要重要得多。

因為在數學裡，技能重于知識，所以在數學課裡，你怎麼去教也許比你去教什麼顯得更重要。

6. 要讓他們學習猜測。

先猜，後證——這是大多數的發現之道。你應當懂得這一點（假如可能的話，最好是根據你自己的親身體驗去得到這一點），而且你還應當懂得，數學教師有很好的機會去說明猜測在發現中所起的作用，從而使得學生在腦海中銘刻下一種帶根本性的重要思維方式。這後一點雖然是應當知道的，但卻并不廣為人知，正是因為這個緣故，它應當受到特别的注意，我希望你不要在“要讓他們學習猜測”這個問題上贻誤了你的學生。

無知的不經心的學生常常是“瞎猜”一通，我們必須教會他們的當然不是瞎猜，而是“合情”的猜測。合理的猜測是建立在歸納論證和類比的适度運用上，并且最終包含了全部合情推理（它在“科學的方法”扮演一個角色）的手續。

7. 要讓他們學習證明。

“數學是一所證明推理的好學校”。這句話聽起來是熟悉的——它的某些叙述形式可能幾乎與數學同樣古老。事實上，數學與證明推理是共存的，一門科學僅當它的概念提升到了充分抽象、确定的數理邏輯水平，數學才能滲透得進去。低于這一水平高度便不會有嚴格的推理證明。（比如在日常事務中，便不要什麼嚴格的推理證明。）不過（其理自明）數學教師還是應當讓除低年級以外的學生都了解證明的推理：要讓他們學習證明。

8. 要找出手邊題目中那些可能對解後來題目有用的特征——即設法揭示出隐藏在眼前具體情形中的一般模型。

在數學這門學問中，技能是更有價值的一部分，它的價值大大超過僅僅具備知識。然而，我們應當怎樣去傳授技能？學生隻能從模仿和演習中去學習它。

當你介紹一個題目的解法時，就應當适當地強調一下解法的有教育意義的特征。一個特征，假如它值得去模仿，就是有教育意義的，這就是說，它不僅能用于解眼前的問題，并且也可用于解其他的問題——其可用的次數越多，就越有教育意義。所謂去強調有教育意義的特征，不是僅僅贊賞它們，而要講究整個表現它們的形式。一個發揮得很好的特征可以把你的解法變為一個标準解法，變成一個使人印象深刻的可效法的模型，學生将模仿它去解其他許多的問題。

9. 不要一下子吐露出你的全部秘密——讓學生在你說出來之前先去猜——盡量讓他們自己去找出來。

我想在這裡指出一個課堂上的小花招，它易于學到手且應當為每一教師所了解。在你開始讨論一個題目之前，先讓你的學生猜猜解答。那些有了一個猜想或甚至把猜測說出口的學生一定會變得很專心，他會緊跟解題的進展以便最後落實他的猜測是對的還是錯的——這樣他就不可能分散精神了。

這僅僅是下述規則的一個極為特殊的情形，而這條規則本身已包括在規則3和規則6的某些部分中了。

實際上，這條規則因伏爾泰而得名，他把它說得更風趣：“令人讨厭的藝術就是把什麼都說出來。”

10. 要建議，不要強迫别人接受。

一個學生作了一個長計算，寫了好幾行。一看末行結果，便知道計算是錯的，但我卻抑住不說。我喜歡與學生一起，一行一行地查看：“你一開頭做得很對。你的第一行是對的，你的第二行也是對的，你做了這個那個。現在關于這一行，你是怎麼想的？”錯就錯在這一行，假如錯是由學生自己發現的，他就可以學到點什麼。假如，我當時立即就說：“這是錯的”，這學生也許會産生反感，這樣我下面的話他就聽不進去了。假如我經常說“這是錯的”，學生将會恨我及數學，這樣就他個人來講，我的一切努力都将付諸東流。

親愛的教師，請不要說“你是錯的。”假如可能，就換一句話：“你是對的，但是……”倘若你是這麼做了，并不表示你虛情假意，而是顯出你的誠懇。你應該這樣去做，這已經隐含在規則3之中了。不過現在我們把這個忠告表示得更明白些：要建議，不要強迫别人接受。

我們的最後兩條規則，目标是一樣的，它們共同提示的，就是在有教師教的條件下，盡可能給學生發揮自主和主動精神的機會。迫于時間限制，數學教師常常會違背這些規則的精神，即主動學習的原則。他也許趕着解題，并不留出足夠的時間讓學生們自己去認真地思考一下問題。他也許沒有用适當的材料進行充分的準備，在學生們感到有需要之前，就很快地提出了一個概念或形成了一跳規則。他也許會犯“救星從天而降”的毛病：引入某些妙法（比如，在幾何證明中引入一條奇妙的輔助線）使得結果突然推出，但學生們卻要了命也想不出怎麼能夠發現這樣一個從天上降下來的絕招。

違背這原則的情況太多了，因此我們再強調幾句：

讓你的學生提出問題，要不就像他們自己提問的那樣由你去提出這些問題。

讓你的學生給出解答，要不就像他們自己給出的那樣由你去給出解答。

無論如何，不要去解答沒有人問過的，甚至連你自己也沒有問過的問題。