如圖①,P爲△ABC內一點,連接PA、PB、PC,在△PAB、△PBC和△PAC中,

題目：

如圖①,P爲△ABC內一點,連接PA、PB、PC,在△PAB、△PBC和△PAC中,
那麼就稱P爲△ABC的自相似點．
⑴如圖②,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ACB＞∠A,CD是AB上的中線,過點B作BE⊥CD,垂足爲E,試說明E是△ABC的自相似點．
⑵在△ABC中,∠A＜∠B＜∠C．
①如圖③,利用尺規作出△ABC的自相似點P（寫出作法並保留作圖痕跡）有圖和具體做法加30分；
②若△ABC的內心P是該三角形的自相似點,求該三角形三個內角的度數

解答：

【答案】⑴在Rt △ABC中,∠ ACB＝90°,CD是AB上的中線,∴ ,∴CD=BD．
　　∴∠BCE＝∠ABC．∵BE⊥CD,∴∠BEC＝90°,∴∠BEC＝∠ACB．∴△BCE∽△ABC．
　　∴E是△ABC的自相似點．
　　⑵①作圖略．（根據畫角等的方法,畫出兩個角就行了）
　　作法如下：（i）在∠ABC內,作∠CBD＝∠A；
　　（ii）在∠ACB內,作∠BCE＝∠ABC；BD交CE於點P．
　　則P爲△ABC的自相似點．
　　②連接PB、PC．∵P爲△ABC的內心,∴ ,．
　　∵P爲△ABC的自相似點,∴△BCP∽△ABC．
　　∴∠PBC＝∠A,∠BCP＝∠ABC=2∠PBC =2∠A,
　　∠ACB＝2∠BCP=4∠A．∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°．
　　∴∠A+2∠A+4∠A＝180°．
　　∴ ．∴該三角形三個內角的度數分別爲720/7 、180/7 、360/7 ．