求解一道數列題~已知由依次增大且大於1的連續正整數組成的數列a(1),a(2),……,a(n),……,滿足lg2+lg(

題目：

求解一道數列題~
已知由依次增大且大於1的連續正整數組成的數列a(1),a(2),……,a(n),……,滿足lg2+lg(1+1/a2)+……+lg(1+1/an)=lgn,求n的最大值及此時的a1+a2+……+an.

解答：

lg(1+1/a(n))=lg( (a(n)+1)/a(n))=lg( a(n+1)/a(n) )
可知
lg2+lg(1+1/a2)+……+lg(1+1/an)
= lg2+lg(a3/a2)+……+lg( a(n+1)/a(n) )
= lg( 2* (a3/a2) * (a4/a3) * a(n+1)/a(n) )
= lg( 2*a(n+1) /a2 )
= lg( 2*(a2+n-1) /a2 )
= lgn
等式兩邊去掉lg,得
2*(a2+n-1)/a2=n
a2 = (2n-2)/(n-2)
= 2 + 2/(n-2)
因爲a2>2且a2爲正整數,所以2/(n-2)必須爲整數
滿足此條件的n有4或3或1
所以n的最大值爲4,此時數列爲2,3,4,5
故a1+a2+……+an = 2+3+4+5 = 14