（2013•安慶二模）如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10，小明同學將一個足夠大的透明的三角板的直角

題目：

（2013•安慶二模）如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10，小明同學將一個足夠大的透明的三角板的直角頂點放在BC的中點D處．
（1）若三角板的兩邊與△ABC的邊AB、AC分別交於點E、F，求證：△DEF是等腰三角形．
（2）小明同學將三角板繞點D旋轉，三角板的兩邊與△ABC的邊AB、AC分別交於點E、F，請你探究四邊形AEDF的面積是否變化？若沒有變化，請求出四邊形AEDF的面積；若有變化，請說明理由．
（3）小明同學繼續旋轉三角板，如圖2，當點E、F分別在AB、CA延長線上時，設BE的長爲X，四邊形ADEF的面積爲S，請探究S與x的函數關係式．

解答：

（1）證明：∵∠BAC=90°，AB=AC，D爲BC中點，
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，
∴AD=DC=DB，AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∵∠EDA+∠ADF=90°，∠FDC+∠ADF=90°，
∴∠EDA=∠FDC，
在△AED和△CFD中

∠EAD＝∠C＝45°
AD＝DC
∠EDA＝∠FDC
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴ED=FD，
∴△DEF爲等腰三角形；

（2）四邊形ADEF的面積沒有變化，
理由：如圖1，∵△AED≌△CFD，
∴S_△ABC=
1
2×10×10=50
∴S_{四邊形ADEF}=S_△AED+S_△ADF=S_△CFD+S_△ADF=S_△ADC=
1
2S_△ABC=25；

（3）如圖2，由（1）中證明知∠ADF=∠BDE，∠FAD=∠EBD=135°，AD=BD，
同理△AFD≌△BED，
∴BE=AF=x，
過點D作DM⊥AB，垂足爲M，則DM=
1
2AB，
題目中AB=10．DM=
1
2AB=5，
故四邊形ADEF的面積S=S_△AEF+S_△AED=
1
2AE•AF+
1
2AE•DM=
1
2（x+10）x+
1
2（x+10）×5
即S=
1
2x²+
15
2x+25．