f(2+x)+f(2-x)=9,f(x)是奇函數,f(1)=0,求f(2010)+f(2011)+f(2012)=?

題目：

f(2+x)+f(2-x)=9,f(x)是奇函數,f(1)=0,求f(2010)+f(2011)+f(2012)=?

解答：

因爲 f(2+x)+f(2-x)=0,且f(x)是奇函數
所以 f(2+x)=-f(2-x)=f(x-2),
即 f(x)=f(x-4).
所以 f(x)是周期爲4的周期函數.且f(0)=0.
又在f(2+x)+f(2-x)=0 中,令x=0,則：
f(2)+f(2)=0 ,f(2)=0.
所以 f(2010)=f(4*502+2)=f(2)=0；
f(2011)=f(4*503-1)=f(-1)=-f(1)=0；
f(2012)=f(4*503)=f(0)=0.
故 f(2010)+f(2011)+f(2012)=0.
再問： 你看錯題了！！
再答： SORRY! f(x)是奇函數，所以f(0)=0。 f(1)=0,則f(-1)=-f(1)=0. f(2+x)+f(2-x)=9,令x=0可得：f(2)+f(2)=9, f(2)=9/2. f(x)是奇函數 所以f(2-x)=-f(x-2). 因爲 f(x+2)+f(2-x)=9， 則f(x+2) -f(x-2)=9, 所以f(x+4) -f(x)=9，即f(x+4) = f(x)+9， ∴f(1),f(2),f(3),f(4), f(5),f(6),f(7),f(8)，……每隔三項構成公差爲9的等差數列。 f(2010)= f(2)+502*9=9/2+4518. f(2011)= f(-1)+ 503*9=4527. f(2012)= = f(0)+503*9=4527. f(2010)+f(2011)+f(2012)=13576.5