已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=3，則xyz的最大值是______．

題目：

已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x²+y²+z²=3，則xyz的最大值是______．

解答：

∵x+y+z=1①，x²+y²+z²=3②
∴①²-②可得：xy+yz+xz=-1
∴xy+z（x+y）=-1
∵x+y+z=1，
∴x+y=1-z
∴xy=-1-z（x+y）=-1-z（1-z）=z²-z-1
∵x²+y²=3-z²≥2xy=2（z²-z-1）⇒3z²-2z-5≤0⇒-1≤z≤
5
3
令f（z）=xyz=z³-z²-z，則f′（z）=3z²-2z-1=（z-1）（3z+1）
令f′（z）＞0，可得z＞1或z＜−
1
3，
∴f（z）在區間[-1，-
1
3]單調遞增，在[-
1
3，1]單調遞減，在[1，
5
3]單調遞增，
當z=-
1
3時，xyz的值爲
5
27，當z=
5
3時，xyz的值爲
5
27，
∴xyz的最大值爲
5
27．
故答案爲：
5
27．

試題解析：

由條件可得xy+yz+xz=-1，利用x+y+z=1，可得xyz=z³-z²-z，利用導數的方法，可求xyz的最大值．

名師點評：

本題考點： 平均值不等式在函數極值中的應用．
考點點評： 本題考查最值問題，考查導數知識的運用，解題的關鍵是正確轉化，從而利用導數進行求解．