已知a b c都是正數,證明a/(b+2c)+b/(c+2a)+c/(a+2b)≥1

題目：

已知a b c都是正數,證明a/(b+2c)+b/(c+2a)+c/(a+2b)≥1
可能用基本不等式,也可能是排序不等式 柯西不等式,

解答：

設b+2c=x,c+2a=y,a+2b=z
則a=1/9(z-2x+4y)
b=1/9(x-2y+4z)
c=1/9(y-2z+4x)
原式即證：
1/9（(z-2x+4y)/x+(x-2y+4z)/y+(y-2z+4x)/z）>=1
即證：
1/9（z/x+4x/z+x/y+4y/x+y/z+4z/y-6）>=1 ---1
因爲
4x/z+4y/x+4z/y>=12
若且唯若x/z=y/x=z/y,即x=y=z時等號取到
因爲
z/x+x/y+y/z>=3
若且唯若z/x=x/y=y/z,即x=y=z時等號取到
所以1式左邊>=1/9(12+3-6)=1=右邊
即原式a/(b+2c)+b/(c+2a)+c/(a+2b)≥1得證
如有此類問題,可直接詢問zhaowei0524