還是圓的證明題（要過程）

題目：

還是圓的證明題（要過程）
如圖,AB是半圓O的直徑,點E是半圓上的一個動點（點E與點A B都不重合）,點C是BE延長線上的一點,且CD⊥AB,垂足爲D,CD與AE交與點H（點H與點A不重合）
已證明△AHD∽△CBD
連接HO,若CD=AB=2,求HD+HO的值

解答：

1.連接AD,則AD⊥BC
又BD=DC
所以AB=AC
三角形ABD爲直角三角形
所以角ABC=角ACB〈90
三角形ABC爲銳角三角形
2.角ACB=角AEB
三角形CBF和三角形EBD是直角三角形
角ACB+角CBF=90
角AEB+角EBD=90
所以角CBF=角EBD
所以角BGE=角BEG
所以DG=DE
3.三角形AHD和三角形CBD都是直角三角形
∠EAB+∠EBA=90
∠BCD+∠ABE=90
所以∠BAE=∠BCD
所以三角形AHD與三角形CBD相似
設BD=x
因爲AB是⊙O的直徑,CD=AB=2,點E是半圓上一動點
故：OA=OB=1,∠AEB=90度
故：OD=1-x,AD=2-x
因爲CD⊥AB
故：∠EAB＝∠C＝90度－∠B
故：tan∠EAB = HD /AD=tan∠C=BD/CD（或根據△AHD∽△CBD得出HD /AD = BD/CD）
故：HD= x(2-x)/2
故：根據勾股定理：HO²=OD²+DH²=(1-x)²+[ x(2-x)/2]²
= (x^4-4x³+8x²-8x+4)/ 4
= (x²-2x+2)²/4
故：HO=( x²-2x+2)/2
故：HD+HO= x(2-x)/2+( x²-2x+2)/2=1