各項均爲正數的數列{an}中,a1=a,a2=b,且滿足m+n=p+q的正整數m,n,p,q都有am+an/(1+am)

題目：

各項均爲正數的數列{an}中,a1=a,a2=b,且滿足m+n=p+q的正整數m,n,p,q都有am+an/(1+am)(1+an)=
ap+aq/(1+aq)(1+aq).當a=1/2,b=4/5時,試歸納出這個數列的通項公式.

解答：

(am+an)/【(1+am)(1+an)】=(ap+aq)/【（1+ap）(1+aq)】
所以(a1+an)/(1+a1)(1+an)=(a2+a[n-1])/(1+a2)(1+a[n-1])
帶入a=0.5,b=0.8
an=(2a[n-1]+1)/(an+2)
所以數列｛1+an /1-an｝是一個等比數列
an=(3^n -1)/(3^n +1)
參考以下:
令m=2 q=1 p=n+1
(a2+an)/[(1+a2)(1+an)]=(ap+a1)/[(1+ap)(1+a1)],
(4/5+an)/[(1+4/5)(1+an)]=(ap+1/2)/[(1+ap)(1+1/2)],
(4/5+an)/[3/5(1+an)]=(ap+1/2)/[(1+ap)/2]
(4+5an)/[3(1+an)]=(2ap+1)/(1+ap)
1/3*(4+5an)/(1+an)*2=(2ap+1)/(1+ap)*2
1/3*(9-(1-an)/(1+an))=3-(1-ap)/(1+ap)
1/3bn=bp=b(n+1)
所以bn是等比,公比是1/3
b1=1/3
bn=1/3^n=(1-an)/(1+an)
an=(3^n-1)/(3^n+1)