設f(x)是偶函數,即f(-x)=f(x),用定積分的幾何意義說明下式成立：∫上限a,下限-a f(x)dx=2∫上限a

題目：

設f(x)是偶函數,即f(-x)=f(x),用定積分的幾何意義說明下式成立：∫上限a,下限-a f(x)dx=2∫上限a,下限
設f(x)是偶函數,即f(-x)=f(x),用定積分的幾何意義說明下式成立：
∫上限a,下限-a f(x)dx=2∫上限a,下限0 f(x)dx

解答：

∫上限0,下限-a ,∫f(x)dx,
令t=-x,x=-t,
,∫f(x)dx變爲,∫f(-t)d(-t)上限0,下限a
調換上下限積分變號
-∫ f(-t)d(-t)上限a 下限0,
d(-t)=-dt
f是偶函數.f(-t)=f(t),積分值與積分變量無關,則函數變爲上限a 下限0,∫f(x)dx
則∫上限0,下限-a ,∫f(x)dx,=
上限a 下限0,∫f(x)dx
∫ 上限a,下限-a f(x)dx=∫ 上限a,下限0+∫ 上限0,下限-a =2∫上限a,下限0 f(x)dx