已知拋物線x2=2py（p爲常數，p≠0）上不同兩點A、B的橫坐標恰好是關於x的方程x2+6x+4q=0（q爲常數）的兩

題目：

已知拋物線x²=2py（p爲常數，p≠0）上不同兩點A、B的橫坐標恰好是關於x的方程x²+6x+4q=0（q爲常數）的兩個根，則直線AB的方程爲______．

解答：

設A，B兩點坐標分別爲（x₁，y₁），（x₂，y₂）
由A、B的橫坐標是方程x²+6x+4q=0的兩個根
則x₁+x₂=-6，x₁•x₂=4q
又由A、B也在拋物線上，
則y₁=
1
2p
x21，y₂=
1
2p
x22
代入兩點式方程得：
x−x1
x2−x1=
y−y1
y2−y1
即x-x₁=
2py−
x21
−6
即6x+2py=x₁²+6x₁=x₁²+x₁x₂+6x₁-x₁x₂=x₁（x₁+x₂）+6x₁-4q=-4q
即：3x+py+2q=0
故答案爲：3x+py+2q=0

試題解析：

本題考查的知識點是直線的一般方程，由已知A、B的橫坐標是方程x²+6x+4q=0的兩個根，由一元二次方程根與係數的關係（韋達定理），我們易得x₁+x₂=-6，x₁•x₂=4q，再由A、B也在拋物線上，易得y₁，y₂的值，代入兩點式方程，整理即可得到答案．

名師點評：

本題考點： 直線的一般式方程；函數與方程的綜合運用；拋物線的應用．
考點點評： 在求直線方程時，應先選擇適當的直線方程的形式，並注意各種形式的適用條件，用斜截式及點斜式時，直線的斜率必須存在，而兩點式不能表示與坐標軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標軸垂直或經過原點的直線，故在解題時，若採用截距式，應注意分類討論，判斷截距是否爲零；若採用點斜式，應先考慮斜率不存在的情況．