設p、q爲質數，則關於x的方程x2+px+q4=0的整數解是______．

題目：

設p、q爲質數，則關於x的方程x²+px+q⁴=0的整數解是______．

解答：

x²+px+q⁴=0有整數解，則由方程根與係數的關係可知兩根均爲整數且兩根之和爲-p，兩根之乘積爲q⁴，
故兩根只能是-1與-q⁴，-q與-q³或-q²與-q²．
另一方面由兩根之和的絕對值爲p是質數．
由於q+q³=q（q²+1），q²+q²=2q²均不是質數，故兩根只能是1與q⁴，要使q⁴+1也爲質數，q只能是偶數，又q是質數，
故q=2，此時q⁴+1=17也是質數．
故該方程只有當p=17，q=2時，方程x²+17x+2⁴=0有整數解-1和-16．
故答案爲：-1，-16．

試題解析：

根據題意得兩根只能是-1與-q⁴，-q與-q³或-q²與-q²．再由兩根之和的絕對值爲p是質數得q=2，從而得出方程的兩根．

名師點評：

本題考點： 一元二次方程的整數根與有理根；質數與合數．
考點點評： 本題考查了一元二次方程的整數根和有理根，以及質數和合數，難度較大．