已知函數f(x)=x^3-x,設a>0,若果過點(a,b)可作曲線y=f(x)的三條切線,證明:-a

題目：

已知函數f(x)=x^3-x,設a>0,若果過點(a,b)可作曲線y=f(x)的三條切線,證明:-a

解答：

假設切點爲（m,m³-m）,那麼可得到方程（m³-m-b）÷（m-a）= 3m² - 1.
上訴方程可化簡爲 2m³-3am²+a+b = 0,因爲要保證這個方程有3個不同的解才能保證有3條切線,每個解都是切點的橫坐標,令 g(x) = 2x³-3ax²+a+b,那麼我們的目標就是保證這個三次曲線有3個不同的零點.dg(x)/dx = 6x²-6ax = 0可求出這條三次曲線的兩個極值點 x1 = 0,x2 = a,易知這兩個是不相等的,因爲a＞0,所以要保證這個三次曲線有3個不同零點的話必然得滿足
g(0)＞0,g(a)＜0,於是我們可以得到 a+b＞0,a³-a＞b,所以上述不等式得證.