幾道關於整數的初一奧數題,要求有過程和解釋

題目：

幾道關於整數的初一奧數題,要求有過程和解釋
1.是否存在四位數abcd（不是乘）,其平方的末四位也是abcd?若存在,全部求出來；若不存在,請說明理由.
2.一個正整數若能表示爲兩個正整數的平方差,則稱這個正整數爲「智慧數」,比如13=7平方-6平方,13就是一個「智慧數」,在正整數數列從1開始數起,第1990個智慧數是幾?並說明理由.
3.求證：n的五次方-n（n爲整數）能被30整除
4.公共汽車票的號碼由六個數字組成,若一張票的號碼前三個數字之和等於後三個數字之和等於後三個數字之和,則稱它是幸運的,求證：所有幸運車票號碼的和能被13整除.
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解答：

1
由abcd的平方的末四位也是abcd,有 d*d-d一定爲10的倍數,又d是數字,所以d＝5或6,進位dd爲2或3
同樣利用(a*1000+b*100+c*10+d)^2-(a*1000+b*100+c*10+d)爲10000的倍數,又
(a*1000+b*100+c*10+d)^2-(a*1000+b*100+c*10+d)＝(a*1000+b*100+c*10+d-1)×(a*1000+b*100+c*10+d)
可得10的倍數爲 c*(d-1)+c*d+dd
若d=5 10的倍數爲 9c+2 是10的倍數 c＝2 cc=2
若d=6 10的倍數爲 11c+3 是10的倍數 c＝7 cc=8
可得100的倍數爲 b*(d-1)+b*d+c*c+cc
若d=5 100的倍數爲 9b+6 是100的倍數 b＝6 bb=6
若d=6 100的倍數爲 11c+57 是100的倍數 b＝3 bb=9
可得1000的倍數爲 a*(d-1)+a*d+2*b*c+bb
若d=5 100的倍數爲 9a+30 是1000的倍數 a＝0 aa=3 捨去
若d=6 100的倍數爲 11a+51 是1000的倍數 a＝9 aa=15
於是有9376符合要求.
2
A2—B 2=（A+B）（A-B）,因爲（A+B）和（A-B）同奇或同偶,所以智慧熟是奇數或是4的倍數,所以任何大於1的奇數都是智慧數,任何大於4的4的倍數都是智慧數,算一下就知道第1990個是2656
3
因爲將n^5-n分解因式爲：
n^5-n
=n(n^4-1)
=n(n^2+1)(n^2-1)
=n(n-1)(n+1)(n^2+1)
因爲（n-1）、n、（n+1）是三個連續的整數,其中必定有2的倍數和3的倍數,則必然是6的倍數.
若n=5k+1或n=5k或n=5k+4,其中k是正整數（下同）,那麼n-1或n或n+1中含因子5,則n(n-1)(n+1)(n^2+1)能被5*6=30整除.
若n=5k+2,則:
n^2+1=25k^2+20k+4+1=5(5k^2+4k+1),是5的倍數,同樣得到n(n-1)(n+1)(n^2+1)能被5*6=30整除.
若n=5k+3,則：
n^2+1=25k^2+30k+9+1=5(5k^2+6k+2),是5的倍數,同樣得到n(n-1)(n+1)(n^2+1)能被5*6=30整除.
4
設幸運車票的號碼是A,則A′＝999999－A也是幸運的,且A≠A′．因爲A＋A′＝999999＝999×1001含因數13．而所有幸運號碼都能如此兩兩配對．所以所有幸運號碼之和能被13 整除．
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