圓周率的數學史

題目：

圓周率的數學史

解答：

祖沖之是世界上第一位將圓周率準確地推算到小數點後七位數值的科學家,並將這一紀錄在世界上保持了一千年之久.
　　在祖沖之以前,我國在數學方面已經達到世界先進水平,湧現出許多傑出的數學家和優秀的數學著作.早在原始社會末期,「龍山文化」的陶器上已經出現了各種幾何圖案.商朝時期,已經開始在數學運算中採用十進位制,這是世界上最早的進位制,它的採用大大方便了數學計算.春秋時代成書的《周易》,是世界上第一本研究排列組合的書.到了戰國時代,百家爭鳴,數學有了進一步的發展,出現了運用至今的「九九」乘法口訣；在幾何學方面,已普遍地運用尺規作圖,從而促進了幾何學的發展.同時,在諸子百家的著作中,也提出了許多有價值的數學理論.例如：墨家學派的經典《墨子》中,有不少地方涉及到幾何學上的一些基本問題,對此它都準確地定義,其準確程度與古代西方流行的歐幾里德的《幾何原本》不相上下.道家學派所著的《莊子》中,提出了極限理論,其中的著名例證：「有一根一尺長的棍子,每天截其一半,那永遠也截不完」,至今仍被講解數列極限所經常引用.
　　到了秦漢魏晉之際,隨著封建經濟的巨大發展,與之密切相關的數學也有了長足的進步,湧現了一大批的數學著作和知名的數學家.其中最主要的著作有《周髀算經》、《九章算術》和《海島算經》.《周髀算經》成書的年代不晚於公元前一世紀,作者已經不知道了,東漢著名數學家趙君卿爲之作過注,其主要成就在於提出了著名的「勾股定理」及採取了較爲複雜的分數運算等方面.《九章算術》的成書年代同《周髀算經》大約同時,最初的作者是誰也已不知道了,許多數學家都對此書進行過增訂刪補,如西漢數學家張蒼、耿壽昌、許商、杜忠等,三國時期著名數學家劉徽爲之作了注.這部著作集先秦、秦漢時期數學優秀成果之大成,對以後中國古代數學產生了非常深刻的影響.全書分爲方田（主要是計算田畝的方法）、少廣（主要是開平方和開立方的方法）、商功（主要是計算各種體積,解決築城、興修水利等建築工程中的實際問題）、粟米（主要是計算各種糧食間的換算方法）、差分（主要是等級式的計算方法）、均輸（主要是計算徵收和運輸糧食的方法）、盈虛（主要是統計有關生產收入的問題）、勾股（主要是勾股定理的實際運用方法）等九章,共二百四十六個問題及每個問題的解法.這部書從數學成就上看,首先應該提到的是：其中記載了當時世界上最先進的分數四則運算和比例算法.另外,書中記載的開平方和開立方的方法,實際上就是求解一元二次方程；而爲解方程而聯立方程組的解法,比歐洲同類算法早出一千五百多年.書中還在世界數學史上第一次提出了負數概念和正負數的加減法運算法則.《九章算術》不僅在中國數學史上占有重要地位,它的影響還遠及國外,朝鮮、日本都曾把《九章算術》作爲教科書,其中的某些計算方法,還傳到了印度、阿拉伯和歐洲.
　　《海島算經》的作者是三國時期的劉徽.在這部書中,他主要講述了利用標杆進行兩次、三次及至四次測量來解決各種測量數學的問題,其在此方面的造詣之深,遠遠超越了當時的西方數學家.而這種測量數學,正是地圖學的數學基礎.
　　除了以是三部著作外,較爲重要的數學著作還有《孫子算經》、《五曹算經》、《夏侯陽算經》等.
　　祖沖之經過刻苦鑽研,繼承和發展了前輩科學家的優秀成果.他對於圓周率的研究,就是他對於我國乃至世界的一個突出貢獻.祖沖之對圓周率數值的精確推算值,用他的名字被命名爲「祖沖之圓周率」,簡稱「祖率」.
　　什麼是圓周率呢?圓有它的圓周和圓心,從圓周任意一點到圓心的距離稱爲半徑,半徑加倍就是直徑.直徑是一條經過圓心的線段,圓周是一條弧線,弧線是直線的多少倍,在數學上叫做圓周率.簡單說,圓周率就是圓的周長與它直徑之間的比,它是一個常數,用希臘字母「π」來表示.在天文曆法方面和生產實踐當中,凡是牽涉到圓的一切問題,都要使用圓周率來推算.
　　如何正確地推求圓周率的數值,是世界數學史上的一個重要課題.我國古代數學家們對這個問題十分重視,研究也很早.在《周髀算經》和《九章算術》中就提出徑一周三的古率,定圓周率爲三,即圓周長是直徑長的三倍.此後,經過歷代數學家的相繼探索,推算出的圓周率數值日益精確.西漢末年劉歆在爲王莽設計製作圓形銅斛（一種量器）的過程中,發現直徑爲一、圓周爲三的古率過於粗略,經過進一步的推算,求得圓周率的數值爲3.1547.東漢著名科學家張衡推算出的圓周率值爲3.162.三國時,數學家王蕃推算出的圓周率數值爲3.155.魏晉之際的著名數學家劉徽在爲《九章算術》作注時創立了新的推算圓周率的方法——割圓術.他設圓的半徑爲1,把圓周六等分,作圓的內接正六邊形,用勾股定理求出這個內接正六邊形的周長；然後依次作內接十二邊形,二十四邊形……,至圓內接一百九十二邊形時,得出它的邊長和爲6.282048,而圓內接正多邊形的邊數越多,它的邊長就越接近圓的實際周長,所以此時圓周率的值爲邊長除以2,其近似值爲3.14；並且說明這個數值比圓周率實際數值要小一些.在割圓術中,劉徽已經認識到了現代數學中的極限概念.他所創立的割圓木,是探求圓周率數值的過程中的重大突破.後人爲紀念劉徽的這一功績,把他求得的圓周率數值稱爲「徽率」或稱「徽術」.
　　劉徽以後,探求圓周率有成就的學者,先後有南朝時代的何承天,皮延  3.14.以上的科學家都爲圓周率的研究推算做出了很大貢獻,可是和祖沖之的圓周率比較起來,就遜色多了.
　　祖沖之認爲自秦漢以至魏晉的數百年中研究圓周率成績最大的學者是劉徽,但並未達到精確的程度,於是他進一步精益鑽研,去探求更精確的數值.它研究和計算的結果,證明圓周率應該在3.1415926和3.1415927之間；   來表示.他成爲世界上第一個把圓周率的準確數值計算到小數點以後七位數字的人.直到一千年後,這個記錄才被阿拉伯數學家阿爾·卡西和法國數學家維葉特所打破.祖沖之提出的「密率」,也是直到一千年以後,才由德國  稱之爲「安托尼茲率」,還有別有用心的人說祖沖之圓周率是在明朝末年西方數學傳入中國後僞造的.這是有意的捏造.記載祖沖之對圓周率研究情況的古籍是成書於唐代的史書《隋書》,而現傳的《隋書》有元朝大德丙午年（公元1306年）的刊本,其中就有和其他現傳版本一樣的關於祖沖之圓周率的記載,事在明朝末年前三百餘年.而且還有不少明朝之前的數學家在自己的著作中引用過祖沖之的圓周率,這些事實都證明了祖沖之在圓周率研究方面卓越的成就.
　　那麼,祖沖之是如何取得這樣重大的科學成就呢?可以肯定,他的成就是建立在前人研究的基礎之上的.從當時的數學水平來看,祖沖之很可能是繼承了劉徽所創立和首先使用的割圓術,並且加以發展,因此獲得了超越前人的重大成就.在前面,我們提到割圓術時已經知道了這樣的結論：圓內接正n邊形的邊數越多,各邊長的總和就越接近圓周的實際長度.但因爲它是內接的,又不可能把邊數增加到無限多,所以邊長總和永遠小於圓周.
　　祖沖之按照劉徽的割圓術之法,設了一個直徑爲一丈的圓,在圓內切割計算.當他切割到圓的內接一百九十二邊形時,得到了「徽率」的數值.但他沒有滿足,繼續切割,作了三百八十四邊形、七百六十八邊形……一直切割到二萬四千五百七十六邊形,依次求出每個內接正多邊形的邊長.最後求得直徑爲一丈的圓,它的圓周長度在三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽到三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽之間,上面的那些長度單位我們現在已不再通用,但換句話說：如果圓的直徑爲1,那麼圓周小於3.1415927、大   大不到千萬分之一,它們的提出,大大方便了計算和實際應用.
　　要作出這樣精密的計算,是一項極爲細緻而艱巨的腦力勞動.我們知道,在祖沖之那個時代,算盤還未出現,人們普遍使用的計算工具叫算籌,它是一根根幾寸長的方形或扁形的小棍子,有竹、木、鐵、玉等各種材料製成.通過對算籌的不同擺法,來表示各種數目,叫做籌算法.如果計算數字的位數越多,所需要擺放的面積就越大.用算籌來計算不象用筆,筆算可以留在紙上,而籌算每計算完一次就得重新擺動以進行新的計算；只能用筆記下計算結果,而無法得到較爲直觀的圖形與算式.因此只要一有差錯,比如算籌被碰偏了或者計算中出現了錯誤,就只能從頭開始.要求得祖沖之圓周率的數值,就需要對九位有效數字的小數進行加、減、乘、除和開方運算等十多個步驟的計算,而每個步驟都要反覆進行十幾次,開方運算有50次,最後計算出的數字達到小數點後十六、七位.今天,即使用算盤和紙筆來完成這些計算,也不是一件輕而易舉的事.讓我們想一想,在一千五百多年前的南朝時代,一位中年人在昏暗的油燈下,手中不停地算呀、記呀,還要經常地重新擺放數以萬計的算籌,這是一件多麼艱辛的事情,而且還需要日復一日地重複這種狀態,一個人要是沒有極大的毅力,是絕對完不成這項工作的.
　　這一光輝成就,也充分反映了我國古代數學高度發展的水平.祖沖之,不僅受到中國人民的敬仰,同時也受到世界各國科學界人士的推崇.1960年,蘇聯科學家們在研究了月球背面的照片以後,用世界上一些最有貢獻的科學家的名字,來命名那上面的山谷,其中有一座環形山被命名爲「祖沖之環形山」.
　　祖沖之在圓周率方面的研究,有著積極的現實意義,適應了當時生產實踐的需要.他親自研究過度量衡,並用最新的圓周率成果修正古代的量器容積的計算.
　　古代有一種量器叫做「 （釜）」,一般的是一尺深,外形呈圓柱狀,那這種量器的容積有多大呢?要想求出這個數值,就要用到圓周率.祖沖之利用他的研究,求出了精確的數值.他還重新計算了漢朝劉歆所造的「律嘉量」（另一種量器,與上面提到的 都是類似於現在我們所用的「升」等量器,但它們都是圓柱體.）,由於劉歆所用的計算方法和圓周率數值都不夠準確,所以他所得到的容積值與實際數值有出入.祖沖之找到他的錯誤所在,利用「祖率」校正了數值.
　　以後,人們製造量器時就採用了祖沖之的「祖率」數值.