變量X1,X2,..,Xn互相獨立且都服從（0,1）上的均勻分布,求U=max{X1,X2,..,Xn}和V=min{X

題目：

變量X1,X2,..,Xn互相獨立且都服從（0,1）上的均勻分布,求U=max{X1,X2,..,Xn}和V=min{X1,X2,..,Xn}期望
這個題目有點難,不知從何下手.

解答：

所有關於min、max這種題都有一個固定的下手點,就是
U≤u→X[1]、X[2]…X[n]裡面最大的都小於等於u→每個X[1]、X[2]…X[n]都小於等於u
每個都小就可以通過獨立事件的概率乘法公式計算概率,所以U≤u的概率可以算出來,這就是U的分布函數,再對u求導就是分布密度,再乘以u求期望就算完了.
先看U的.F(u)（分布函數）=P(U≤u)=P(X[1]≤u)×P(X[2]≤u)×…×P(X[n]≤u)只看u在0~1之間的
每個X[i]≤u的概率都是取0~u的取值概率,就是區間長度u除以總區間長1（因爲是均勻分布）,等於u,所以F(u)=u^n（u的n次方）,求導得到f(u)（密度）=nu^(n-1)（注意u都是(0,1)上面的,其餘地方概率都是0）
期望就把u乘上積分=∫(0到1)n u^n du=n/(n+1),U的就算完了.
再看V的.V是個最小的,還是仿照上面的思路算分布函數F(v)=P(V≤v)=1-P(V>v)（就這裡繞個彎,最小的數要轉變爲大於號）,然後V>v就說明X[i]裡面最小的數大於v,也就是X[i]裡面每個都大於v,每個大於v的概率也是v~1區間長度除以總的,等於(1-v)所以P(V>v)=(1-v)^n,F(v)=1-(1-v)^n求導得到f(v)=n(1-v)^(n-1)再乘以v求期望=∫(0到1)nv(1-v)^(n-1) dv可以算出,稍微有點麻煩,用分部積分把n(1-v)^(n-1)放到積分符號裡面去,變爲
=v(1-v)^(n-1)|1,0 -∫(0到1)(1-v)^n dv=1/(n+1)這都是積分計算,樓主自己驗算一下就可以.
總結一下,這類題目總之有一個核心思路,就是最小的大於某個數等價於所有的都大於這個數；最大的小於某個數等價於所有的都小於這個數.就想辦法求分布函數,把事件往上面說的兩方面湊,然後用概率乘法公式就能得到分布函數,最後求出密度函數.