方程x+y+z=20共有______個正整數解．

題目：

方程x+y+z=20共有______個正整數解．

解答：

當x=1時，y+z=19，
此時y=1，2，…，18；   
對應的z的值：z=18，17，…，1；
共有18組；
當x=2時，y+z=18；
此時y=1，2，…，17；
對應的z的值z=17，16，…，1；
共有17組；
…
當x=18，y=1，z=1；
共有1組解．
所以，方程的所有解爲：
1+2+3+…+18=
1
2×18×19=171．
故答案爲171．

試題解析：

當x=1時，y+z=19，此時y=1，2，…，18，對應的z的值：z=18，17，…，1，共有18組；以此類推，求出所有情況．

名師點評：

本題考點： 三元一次不定方程．
考點點評： 本題考查了三元一次不定方程，利用x、y、z都是正整數進行推理，要注意分類討論，不能漏解．