已知f(x)=1/x+aln(x+1)在[2,4]上爲單調函數,求實數a的取值範圍
題目:
已知f(x)=1/x+aln(x+1)在[2,4]上爲單調函數,求實數a的取值範圍
解答:
f(x)=1/x+aln(x+1)
對函數f(x)求導
f『(x)=-1/x^2+a/(x+1)
已知函數f(x)在[2,4]上爲單調函數
則在此區間函數f(x)的導函數要恆大於0,或者小於0
(1)假設函數f(x)的導函數恆大於0,則有
f『(x)=-1/x^2+a/(x+1)》0
化簡:(ax^2-x-1)/(x^2*(x+1))>0
(x^2*(x+1))可約去(因爲f(x)在[2,4]上爲單調函數,(x^2*(x+1))>0)
ax^2-x-1>0
對於ax^2-x-1的最值點爲(1/(2a),1/(4a)-1),當a>0時,
當1/(2a)>4時,
令g(x)=ax^2-x-1,g(4)>0,
解得:
當1/(2a)0,
解得
當20,
解得:
當1/(2a)0,
解得:
當20,
(2)假設函數f(x)的導函數恆小於0,則有
後面同理了,做法和大於0時差不多了,就你自己做了吧,當然我也沒算答案哈,自己算嘍
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