用單調有界準則證明該數列收斂並求極限【第五個】

題目：

用單調有界準則證明該數列收斂並求極限【第五個】
 

解答：

證明這個數列單調遞減且有上界即可.
1、用數學歸納法證明這個數列有上界：
(1) 當n=2時,x2 = (1/2)(x1+a/x1) ≥√a 成立；
(2) 假設當n=k時,xk ≥√a 成立,則必有 xk > 0
於是 x(k+1) = (1/2)(xn+a/xn) ≥ √(xn*a/xn) = √a 也成立
由(1)(2)據數學歸納法原理,得 對n≥2,總有Xn≥√a
即數列[an}有上界是√a
2、用比較法證明這個數列單調遞減
當n≥2時
因爲xn - x(n+1) = xn - (1/2)(xn+a/xn)=(1/2)[xn-a/xn]
由上面已證的結論有：xn≥√a ,所以-a/xn ≥ - a/(√a)=-√a
於是xn - x(n+1) = xn - (1/2)(xn+a/xn)=(1/2)[xn-a/xn]≥ 0
故對n≥2,總有Xn≥X(n+1)
所以數列[an}單調遞減
3、因爲數列[an}單調遞減且有上界,所以數列[an}的極限存在,設limx(n+1)=limxn=A
於是由x(n+1)=(1/2)(xn+a/xn)得
limx(n+1)=lim(1/2)(xn+a/xn)
即A=（1/2)(A+a/A)
解得A=√a
即limxn=√a
再問： 這個是有下界吧？
再答： xn>m稱上界
xn