利用單調有界必有極限證明一下數列 lim xn存在,並求出極限

題目：

利用單調有界必有極限證明一下數列 lim xn存在,並求出極限
1）x1=根號2 ……xn=根號（2x(n-1)）
2)x0=1,x1=1+x0/(1+x0),……,x(n+1)=1+xn/(1+xn)
3)xn=n^k/a^n (a>1,k爲正整數)
第三小題不用求極限

解答：

1.
x[n+1]/x[n]=√(x[n]/x[n-1])
x[2]/x[1]=√[2(√2)]/√2=√(√2)>1
利用歸納法可知x[n+1]/x[n]>1,即x[n]是嚴格單調遞增的數列,因爲x[1]1,k爲正整數,故當n充分大時（1+1/n)^k1/[a^(1/k)-1]即可).也就是說n充分大時,x[n+1]0,因此x[n]有極限.