利用單調有界收斂準則,證明：數列x1＝2^0.5 ,x(n+1)=(2+xn)^0.5 (n=1,2, .）存在極限,並

題目：

利用單調有界收斂準則,證明：數列x1＝2^0.5 ,x(n+1)=(2+xn)^0.5 (n=1,2, .）存在極限,並求出極限值

解答：

由歸納法x1=√2＜2,設xn＜2,則x(n+1)=√2+xn＜√(2+2)=2,∴0＜xn＜2,xn有界.∵x(n+1)=√(2+xn)＞√(2xn)=√2*√xn＞√xn*√xn=xn,∴xn有界,∴xn有極限a,在x(n+1)=(2+xn)^0.5 兩邊取極限得:a∧2-a-2=0,a=2,(a=-1舍).