高數函數的極限中的定理1怎麼證明

題目：

高數函數的極限中的定理1怎麼證明
函數f(x)當X→x0時極限存在的充要條件是左極限和右極限各自存在並且相等即
f（x0-0)=f(x0+0)

解答：

必要性：設lim（x→x0）f（x）=a,則對任意正數ε,存在正數δ,當0＜|x-x0|＜δ時,有|f（x）-a|＜ε.從而當x0-δ＜x＜x0時,有|f（x）-a|＜ε,故lim（x→x0-）f（x）=a；同樣當x0＜x＜x0+δ時,有|f（x）-a|＜ε,所以lim（x→x0+）f（x）=a.
充分性：設lim（x→x0-）f（x）=lim（x→x0+）f（x）=a,則對任意正數ε,分別存在正數δ1和δ2,當x0-δ1＜x＜x0時,有|f（x）-a|＜ε；當x0＜x＜x0+δ2時,有|f（x）-a|＜ε.取δ=min{δ1,δ2},則當0＜|x-x0|＜δ時,有|f（x）-a|＜ε,即lim（x→x0）f（x）=a