已知函數f(x)=e^x-e^(-x)(屬於R)(1)判斷函數f(x)的奇偶性與單調性(2)是否存在實數t使不等式f(x

題目：

已知函數f(x)=e^x-e^(-x)(屬於R)(1)判斷函數f(x)的奇偶性與單調性(2)是否存在實數t使不等式f(x-t)+f(x^2+t^2)>=0,對一切x都成立?若存在,求出t；若不存在,說明理由.

解答：

（1）因爲f(-x)=e^(-x)-e^x=-[e^x-e^(-x)]=-f(x)
所以f(x)是奇函數.
因爲f(x+1)-f(x)=e^(x+1)-e^(-x-1)-[e^x-e^(-x)]=e^(x+1)-e^x-[e^(-x-1)-e^(-x)]>0
所以f(x)是增函數
（2）假設存在,則f(x-t)>=-f(x^2+t^2),
f(x-t)>=f[-(x^2+t^2)]
所以x-t>=-(x^2+t^2)
x^2+t^2+x-t=(x+1/2)^2+(t-1/2)^2-1/2>=0
若對一切x都成立,則(t-1/2)^2-1/2>=0
解得 t>=1/2+根號2/2 或t