已知函數f（x）=x3+2x2+x-4，g（x）=ax2+x-8．

題目：

已知函數f（x）=x³+2x²+x-4，g（x）=ax²+x-8．
（Ⅰ）求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）若對任意的x∈[0，+∞）都有f（x）≥g（x），求實數a的取值範圍．

解答：

（I）f′（x）=3x²+4x+1，令f′（x）=0，
解得x1＝−1或x2＝−
1
3．
列表如下：
x （-∞，-1） -1 (−1，−
1
3) −
1
3 (−
1
3，+∞)
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） 增函數 極大值 減函數 極小值 增函數∴當x=-1時，f（x）取得極大值爲-4；
當x＝−
1
3時，f（x）取得極小值爲−
112
27．
（II）設F（x）=f（x）-g（x）=x³+（2-a）x²+4，
∵F（x）≥0在[0，+∞）恆成立⇔F（x）_min≥0，x∈[0，+∞），
若2-a≥0，顯然F（x）_min=4＞0，
若2-a＜0，F′（x）=3x²+（4-2a）x，令F′（x）=0，解得x=0或x＝
2a−4
3，
當0＜x＜
2a−4
3時，F′（x）＜0；當x＞
2a−4
3時，F′(x)＞0．
∴當x∈（0，+∞）時，F(x)min＝F(
2a−4
3)≥0，即(
2a−4
3)3−(a−2)(
2a−4
3)2+4≥0，
∴2＜a≤5，
當x=0時，F（x）=4滿足題意．
綜上所述a的取值範圍爲（-∞，5]．

試題解析：

（I）利用導數的運算法則即可得出f′（x），分別解出f′（x）=0和f′（x）＞0和f′（x）＜0即可得出其單調區間、極值；
（II）設F（x）=f（x）-g（x）=x³+（2-a）x²+4，因此F（x）≥0在[0，+∞）恆成立⇔F（x）_min≥0，x∈[0，+∞）．
利用導數得出F′（x），通過對a分類討論，利用其單調性即可．

名師點評：

本題考點： 利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究函數的極值．
考點點評： 熟練掌握利用導數研究函數的單調性、極值與最值、分類討論得出思想方法等是解題的關鍵．